"Aucune batterie présente" - HP Elitebook 8460p x64 Win10

Hello! 

J'ai un casse-tête, désolé par avance.

J'ai un ordinateur portable HP Elitebook 8460p (x64) acheté reconditionné en Mars 2020, avec Windows 10 pré-installé.

La batterie a toujours été faiblarde mais depuis quelques semaines, Windows ne détecte plus du tout de batterie (alors qu'elle est dedans) : 

J'ai sorti un "Battery Report" depuis Windows Powershell, j'ai fait tourner l'utilisateur de résolution des problèmes, j'ai fait des tests dans l'outil de diagnostic avant le BIOS, même résultat : pas de batterie détectée

Pourtant elle est toujours dedans et maintenant le PC ne fonctionne que s'il est branché sur secteur.

J'ai donc supposé que la batterie était morte et j'en ai acheté une autre : GREENCELL CC06 Notebook Battery 6360b

Elle était clairement indiqué comme compatible avec mon matériel.

Nouveau problème : en mettant cette nouvelle batterie, le PC ne s'allume plus du tout, même en étant branché sur secteur.

Donc retour à la case départ, il ne fonctionne qu'avec l'ancienne batterie, que Windows ne détecte pas, et uniquement quand il est branché sur secteur;

J'ai ensuite supposé que le problème venait soit de la nouvelle batterie, soit du PC.

J'ai donc essayé de mettre à jour le BIOS, car il a l'air vieux ("Hewlett-Packard 68SCF Ver. F.60, 12/03/2015" ; SMBIOS Version - "2.6") et qu'apparemment ça pourrait résoudre le pbm.

Nouveau problème : les téléchageables sur le site de HP ne sont pas disponibles pour Windows 10 sur ce PC ->

Pas grave, je prends la plus récente pour Windows 8.1 x64 en croisant les doigts : 

Mais que je fais la procédure pour mettre à jour le BIOS, voilà le message d'erreur que j'ai à la dernière étape (=au moment du reboot) : 

Donc la mise à jour du BIOS semble impossible à cause de mon problème d'alimentation, alors que j'essayais de résoudre mon problème d'alimentation en mettant à jour mon BIOS.

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à ce sujet ?

Comment savoir si c'est mon ordinateur et/ou la nouvelle batterie qui est en cause ? 

Je précise que j'ai aussi essayé le process de "purge" (éteindre, retirer les périphériques externes, retirer la batterie, appuyer sur bouton d'alimentation pendant 40sec, remettre la batterie, brancher sur secteur, allumer), sans succès.

Merci beaucoup ! A dispo si besoin de plus d'infos.