PSP 2000 ne s'allume que sur secteur

Bonjour,

Alors voilà, après avoir éplucher pendant des heures les sujets, je ne trouve personne ayant eu le même problème que moi (à savoir que la psp se révélait briquée, ce qui n'est pas mon cas).
Voici les symptômes : lorsque je veux allumer ma psp (modèle 2000, cf 5.50 GEN-D3), l'écran reste noir et la led verte est allumée, si je branche un câble pour recharger la batterie ça fonctionne (càd elle se recharge). Lorsque je branche la psp sur secteur en ayant au préalable retiré la batterie, la psp s'allume sans problème, et si j'introduis alors la batterie, je peux utiliser ma psp normalement. Mais bon, c'est quand même pas l'idéal de devoir faire la manip' à chaque fois que je voudrais allumer ma console...
Ah, et je tiens à préciser que ma batterie n'est pas pandorisée (à moins qu'elle ne l'ai fait toute seule XD), et que lorsque j'essaye d'allumer ma psp avec une autre batterie, ça marche nickel.
Je pense que la batterie est morte (elle a deux ans et demi), mais dans ce cas pourquoi peut-elle encore se recharger ?

Vous remerciant d'avance,

Sigrid72.