Problèmes pour formulaire de contact PHP

Bonjour à toute la communauté !
Étant une débutante en HTML/PHP, je requiers votre aide !

J'ai utilisé un Template HTML5 gratuit disponible ici : http://html5up.net/overflow/ , et je l'ai personnalisé.
Or, je n'arrive pas à faire fonctionner le formulaire de contact. Je ne trouve pas le bon code pour ma page php.


Voici mon code HTML :

<article class="container box style3">
    <header>
     <h2>CONTACT</h2>
     <p>N'hésitez pas à me contacter pour toutes questions ou propositions !</p>
    </header>
    <form method="post" action="contact.php">
     <div class="row 50%">
      <div class="6u"><input type="text" class="text" name="name" placeholder="Name" /></div>
      <div class="6u"><input type="text" class="text" name="email" placeholder="Email" /></div>
     </div>
     <div class="row 50%">
      <div class="12u">
       <textarea name="message" placeholder="Message"></textarea>
      </div>
     </div>
     <div class="row">
      <div class="12u">
       <ul class="actions">
        <li><input type="submit" value="Send Message" /></li>
       </ul>
      </div>
     </div>
    </form>
                
   </article>

Et le PHP que j'ai pour l'instant :

<?php

//Vérifier que tous les champs ont été correctement remplis
$tvar=array($_POST['name'],$_POST['email'],$_POST['message']);
foreach($tvar as $var)
 {
 if(!isset($var) OR is_null($var))
  exit('Vous n\'avez pas rempli correctement le formulaire.');
 }

//Destinataire, sujet, expéditeur, message
$dest='***@***';
$sujet='Réponse au formulaire';
$header='From:'.$_POST["name"].' '.'<'.$_POST["email"].'>';
$msg='Nom : '.$_POST["name"]."\r\n".'Message : '.$_POST["message"];

//Envoi du mail
if(mail($dest,$sujet,$msg,$header))
 echo 'Le message a été transmis.';
else
 echo 'Désolé, une erreur est survenue, le message n\'a pas été transmis.';

?>

Quand je fais des essais et que je clique sur "send message", la fenêtre internet s'ouvre sur le code php, et rien n'a été envoyé mon adresse.
Merci de m'éclairer là dessus.


EDIT : ajout des balises de code (jordane)