Aire d'un polygone en C++

#include <iostream>
#include <set>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <ostream>

// Pour stocker les points on va directement utiliser la classe vecteur
struct point_t : public std::vector<double>{
    point_t(
        const double & x = 0,
        const double & y = 0,
        const double & z = 0
    ):
        std::vector<double>()
    {
        push_back(x);
        push_back(y);
        push_back(z);
    }
};

// Cet opérateur permet d'écrire un point
std::ostream & operator << (std::ostream & out,const point_t & p){
    out << '(' << p[0] << ',' << p[1] << ',' << p[2] << ')' << std::endl;
    return out;
}

// Si l'utilisateur saisit deux fois le même sommet, il ne faut l'insérer
// qu'une fois dans la liste de point. La classe set va permettre de
// stocker les points de manière ordonnée en un seul exemplaire.
typedef std::set<point_t> points_t;

unsigned lire_points(points_t & pts){
    unsigned nbpts;
    std::cout << "Nombre de points du polygone ?" << std::endl;
    std::cin >> nbpts;
    for(unsigned i = 0; i < nbpts; ++i){
        point_t pi;
        std::cout << "Point No " << i << '>' << std::endl;
        std::cin >> pi[0];
        std::cin >> pi[1];
        std::cin >> pi[2];
        pts.insert(pi);
    }
    return nbpts;
}

void afficher_points(const points_t & pts){
    points_t::const_iterator
        points_it (pts.begin()),
        points_end(pts.end());
    for(;points_it != points_end;++points_it){
        const point_t & pcur = *points_it;
        std::cout << pcur << std::endl; // on écrit le point courant
    }
}

double calculer_aire(const points_t & pts){
    double aire;
    point_t pvec,som,v1,v2;
    const point_t pori = *(pts.begin());

    points_t::const_iterator
        points_it (pts.begin()),
        points_end(pts.end());
    for(;points_it != points_end;++points_it){
        const point_t & pcur = *points_it;
        // ....
    }
    aire = 0.5 * sqrt(som[0]*som[0] + som[1]*som[1] + som[2]*som[2]);
    return aire;
}

int main(){
    points_t pts;
    lire_points(pts);
    afficher_points(pts);
    std::cout << "calcul" << std::endl;
    double aire = calculer_aire(pts);
    std::cout << "L'aire de votre polygone est " << aire << std::endl;
    return 0;
}