Décomposition du nombre 1 Fermé

Question

Bonjour, j'ai un petit problème !
je voudrais essayé de démontrer que pour tout n tel que n> ou égale à 3, on puisse trouver n entier strictement positif x1 ( le 1 est en indice), x2 (2 en indice), ..., xn ( n en indice) disctincts deux à deux et qui vérifient :  
                              1/x1 ( 1 en indice) + 1/ x2 ( 2 en indice ) + ...+ 1/xn ( n en indice) = 1
Mercii d'avance

mamiemando · Accepted Answer

Pour n=3 ça marche 1 = 1/2+1/3+1/6 (initialisation de la récurrence)
Pour n=4 on remarque que 1/6 = 1/10 + 1/15. En gros je pense que par récurrence ça doit être jouable.
1) tu suppose qu'il existe x1,...,xn une suite d'entiers 2 à 2 distincts tels que sum(1/xi,i=1...n) = 1.
2) tu décomposes le terme 1/xn (1/6 pour n=4) en deux fractions 1/a et 1/b tq que 1/xn = 1/a + 1/b avec a et b deux entiers positifs distincts et tel que a et b sont distincts de x1....x(n-1). Pour n=4 par exemple on a pris 1/a = 1/10 et 1/b = 1/15.

Pour trouver ces deux valeurs j'ai simplement écrit 1/6 = 1/a + 1/b => b = 6a/(a-6). En cherchant deux valeurs entières j'ai donc pris a = 10 et b = 15. Je pense que c'est ce genre de raisonnement que tu dois appliquer dans ton problème. Les deux points "tendus" sont :
1) montrer que 1/xn est toujours décomposable sous forme de deux fractions 1/a et 1/b avec a et b entiers.
2) a et b sont tq la suite (x1...,x(n-1),a,b) sont 2 à 2 distincts

Bonne chance

fiddy · Answer

Salut, mamiemando, je ne pense pas que décomposer xn en deux nombres soient la bonne solution. En effet, après il faudra prouver que a et b sont différents de tous les autres, ce qui est bien plus compliqué que le problème initial. Bidou, Je te propose un algorithme de construction d'une telle base. Je te laisse le loin de le démontrer par récurrence comme mamiemando te l'a proposé. Soit u1 0 pour n > 2. Donc e(n+1)>en. Conclusion : A partir d'une base u=(u1,...,un) de dimension n, nous avons formé une base e=(e1,...e(n+1)) de dimension n+1 respectant bien l'énoncé. N'hésite pas à demander, si tu ne comprends pas tout. ;)

Bidou · Answer

Merci bcp à vous deux pour vos réponses!
Par contre en effet je comprend pas tout !! ( Je ne suis qu'en Terminal !! )
Et je vois pas comment je pourais faire la récurence que mamiemando me
propose, je prend quoi pour P(n) ? la propriété? qui puisse me permettre 
d'arriver à P(n+1)?
Merci d'avance

fiddy · Answer

Salut

Pour le rang n=3, on a 2<3<6 tels que 1/2+1/3+1/6=1 

Beh P(n) : Il existe : x1<x2<...<xn tels que x1+...+xn=1

Tu dois trouver e1<e2<...<e(n+1) et e1+...+e(n+1)=1 comme je te l'ai expliqué.

En fait, tu vas construire à partir de x1.., xn au rang n, d'autres nombres e1,...,e(n+1) au rang n+1.
Tu aboutis donc bel et bien à que P(n+1) est vraie.
D'où la récurrence.

Cdt

Bidou · Answer

salut, 
donc enfait dans l'hérédité de la récurrence  j'ai juste a ajouté x a chacun pour pouvoir faire : x1+x1=x2 à chaque membre? pour arriver à e(n+1)?

fiddy · Answer

Non pas vraiment.

Comme x1+...+xn = 1, tu peux pas ajouter le x(n+1).
Donc on reconstruit des x1 plus petits, qu'on va appeler e1. ei=1/xi pour i allant de 1 à n.
On a donc e1+...+en=1/n. On peut donc faire apparaitre e(n+1) pour tenter que la somme fasse 1.
On veut : e1+...+en+e(n+1)=1. D'où e(n+1) = 1-1/n.
Relis mon explication du dessus, si t'arrives pas à conclure.
Je pense que tu as assez d'éléments pour réussir maintenant.

Cdt

mamiemando · Answer

Pour le changement de base je vois l'idée. Mais le truc c'est que chaque terme ei devrait être de la forme 1/ki avec ki entier non ? Dans ta définition ei = ui/n or je ne vois nulle part ou n est multiple de ui. Ou j'ai mal compris quelque chose dans ton explication.

En effet, après il faudra prouver que a et b sont différents de tous les autres, ce qui est bien plus compliqué que le problème initial.


Non car a et b sont deux entiers positifs donc pour vérifier 1/xn = 1/a + 1/b tu as forcément a > xn et b > xn. Il faut donc juste t'imposer a != b (par exemple a < b) ce qui t'interdit le cas a = b = 2xn. 

En retravaillant 1/xn = 1/a + 1/b, on a : a = b.xn/(b-xn). Une solution entière à cette équation c'est évidemment b = 2xn, et donc a =2xn mais pas de pot on n'a pas le droit de la prendre. 

En fait il suffit de prendre b tel que (b - xn) soit un diviseur de xn. Etant donné que le programme de terminale parle de congruences et de ce genre de choses (si ça n'a pas trop changé depuis) je pense que tu es maintenant en terrain connu.

Par exemple pour n = 4 où on avait xn = 15, on prend par exemple b = 20 car 20 - 15 = 5 divise 15, donc a fortiori il divise 15*20. On obtient ainsi a = 20*15 / (20 -15) = 60. Et on a bien 1/15 = 1/20 + 1/60.

Bref peut être que je me craque, il est tard...

Bonne chance à tout les deux moi je vais me coucher ;-)

fiddy · Answer

Salut, mamienando, En fait, je faisais ui/n = 1/(n*xi) car j'ai posé ui=1/xi. Donc n*i est toujours entiers. Je suis d'accord avec ton explication a et b > xn. Mais, tu n'as aucune relation d'ordre dans x1,x2,...,xn. Donc même si a et b sont plus grand que xn, rien ne dit qu'ils seront différents de x1, ... x(n-1). Il faut que tu supposes en plus, dans ton hypothèse, x1 xn alors on saura qu'ils sont tous distincts. En tout cas, non tu n'as craqué ;) lol Bidou, te voilà deux méthodes pour faire ton exo. ;)

mamiemando · Answer

Oui pour l'ordre des xi ca fait partie des trucs que je rajoute dans la récurrence (la suite xi doit être strictement croissante) j'ai oublié de le préciser. 

Ce qui est con c'est que je crois avoir déjà fait cet exercice mais c'était il y a genre 7 ou 8 ans. Et je ne me souviens plus de l'astuce :s J'attends le corrigé avec curiosité !

fiddy · Answer

Salut,

Lol, c'est pas grave mamiemando, on ne peut pas se souvenir de tout. Et puis, ya pas un seul corrigé. Donc si ça se trouve, ça sera encore une autre méthode lool.

Bonne soirée ;)

mamiemando · Answer

Ahah oui je sens l'exercice avec une super astuce :-) A titre indicatif je suppose que c'est un sujet de devoir libre ? Sur quel chapitre tu travailles en ce moment ? Souvent les exercices donnés sont en rapport direct. Ca pourrait peut être nous aider à deviner la méthode à utiliser. Moi ça me rappelle les exercices que j'avais en spécialité maths quand j'étais en TS (ouaaah ça remonte...) quand on faisait les congruences, les PPCM, les PGCD, les divisions euclidiennes etc...

Décomposition du nombre 1

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