Toutes les applications quittent de manière imprévue

Puisque tu peux démarrer ton Mac normalement, tu vas dans menu pomme/A propos de ce Mac et tu me donnes les infos qui sont dans la fenêtre qui va s'ouvrir.
Pour démarrer sur la partition de secours, je t'ai expliqué comme faire dans mon message précédent, tu ne sembles pas avoir procédé ainsi, tu n'as fait qu'une vérification du disque et une réparation des permissions.
Bref, donnes moi d'abord les renseignements demandés au début de ce message.

Alors, il ne te reste plus qu'à réinstaller Mac OS X !
Puisque tu as compris comment démarrer sur la partition de secours, quand tu arrives sur la fenêtre des utilitaires, tu choisis "Réinstaller Mac OS" j'espère que tu as une bonne connexion et, si tu veux éviter, à l'avenir, de réinstaller ainsi, tu peux te créer une clé USB, en suivant ce tuto, par exemple :

https://www.commentcamarche.net/faq/41668-creer-une-cle-usb-d-installation-os-x-10-10-yosemite

Ou utiliser DiskMaker

Plus d'ordi ? c'est à dire ? il ne démarre plus ? tu as fait ce que je t'ai conseillé de faire ? et quel est le résultat ? aurais-tu fait une erreur ?
Tu as répondu donc, tu as un moyen de communication, donne des précisions.
Ton Mac est de quelle année ? disque dur mort ? pas de point d'interrogation au démarrage normal ? tu arrives à démarrer sur la partition de secours ou pas ?

Si tu as un disque dur externe et que tu utilises Time Machine, oui tu peux faire une sauvegarde avant mais, c'est à titre préventif car, la réinstallation de Mac OS X ne touche pas à tes données personnelles.