La somme des entiers naturels
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Modifié par Help-Jason le 15/08/2014 à 13:17
Ziptotozip Messages postés 2 Date d'inscription samedi 13 décembre 2014 Statut Membre Dernière intervention 29 décembre 2014 - 29 déc. 2014 à 02:09
Ziptotozip Messages postés 2 Date d'inscription samedi 13 décembre 2014 Statut Membre Dernière intervention 29 décembre 2014 - 29 déc. 2014 à 02:09
A voir également:
- La somme des entiers naturels
- Somme si couleur - Guide
- Somme excel - Guide
- Erreur de somme de contrôle - Forum Logiciels
- Somme si ens plusieurs critères même colonne ✓ - Forum Excel
- Excel somme texte identique ✓ - Forum Excel
4 réponses
Utilisateur anonyme
17 août 2014 à 21:10
17 août 2014 à 21:10
Ah oui, autre chose. La somme des entiers naturels ne peut-elle pas se simplifier par l'expression : n ( n - 1 ) / 2 ? (ou n+1 je sais plus). Dans ce cas, la limite de cette expression en +infini est bien +infini et non -1/12 ...
Ziptotozip
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Modifié par Ziptotozip le 13/12/2014 à 22:07
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Toute cette démonstration repose sur l'existence d'un nombre A qui serait la somme des (-1)^n = 1 - 1 + 1 - 1 +...
Hélas, la seule chose que prouve cette "démonstration", c'est que SI le nombre A existait, alors il vaudrait 0,5. Mais non seulement rien n'est avancé pour prouver son existence, mais en plus, il est tout à fait possible de prouver que A n'existe pas.
Et sans l'existence de A, c'est toute la suite de la démonstration qui est mise à mal, invalidant ainsi le fameux résultat "-1/12".
En voici la preuve (qui utilise principalement la définition usuelle de la limite, telle qu'on peut la trouver dans cet article https://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_%28math%C3%A9matiques%29 ).
On définit : U(n) = (-1)^n la suite des +1 ;-1 ; +1 ; -1...
On définit S(n) = somme de 0 à n des U(n)
Commençons par un lemme préliminaire.
---------------------------
Lemme : la suite S(n) ne prend que les valeurs 1 et 0, alternées, 1 pour les n pairs et 0 pour les n impairs.
Démonstration :
Supposons que pour n>=0, S(n) = 1 si n pair et S(n) = 0 si n impair.
Si n est pair : S(n+1) = S(n) + (-1)^(n+1) = 1 + -1 = 0
Si n est impair : S(n+1) = S(n) = (-1)^(n+1) = 0 + 1 = 1
De plus, S(0) = 1, et S(1) = 0.
Donc par récurrence : pour tout n, S(n) = 1 si n est pair, et S(n) = 0 si n est impair.
---------------------------
Entamons ensuite la démonstration principale.
Supposons que S(n) converge vers un nombre réel A (hypothèse de départ).
Dans ce cas : qque soit e>0, il existe un N tq pour tout n>N :
| S(n) - A | < e (définition de la limite)
Donc tq : S(n) - e < A < S(n) + e
Prenons e = 1/2 (puisque la convergence implique l'inégalité pour tout e > 0)
On sait alors qu'il existe un N tel que pour tout n>N,
S(n) - 1/2 < A < S(n) + 1/2
Or, d'après le lemme préliminaire, S(n) ne prend que 2 valeurs, 1 et 0, alternées.
Prenons un n0 > N tel que S(n0) = 0
Dans ce cas : S(n0) - 1/2 < A < S(n0) + 1/2
=> -1/2 < A < 1/2
Mais, on a aussi que :
S(n0+1) - 1/2 < A < S(n0+1) + 1/2
Or, S(n0+1) = 1 (puisque S(n0) = 0)
Donc : 1 - 1/2 < A < 1 + 1/2
=> 1/2 < A < 3/2
Ce qui implique que A < 1/2 et A > 1/2
Contradiction.
Par l'absurde, l'hypothèse faite au départ (la série S(n) converge vers un nombre réel A) est fausse, et A n'existe pas.
CQFD.
Hélas, la seule chose que prouve cette "démonstration", c'est que SI le nombre A existait, alors il vaudrait 0,5. Mais non seulement rien n'est avancé pour prouver son existence, mais en plus, il est tout à fait possible de prouver que A n'existe pas.
Et sans l'existence de A, c'est toute la suite de la démonstration qui est mise à mal, invalidant ainsi le fameux résultat "-1/12".
En voici la preuve (qui utilise principalement la définition usuelle de la limite, telle qu'on peut la trouver dans cet article https://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_%28math%C3%A9matiques%29 ).
On définit : U(n) = (-1)^n la suite des +1 ;-1 ; +1 ; -1...
On définit S(n) = somme de 0 à n des U(n)
Commençons par un lemme préliminaire.
---------------------------
Lemme : la suite S(n) ne prend que les valeurs 1 et 0, alternées, 1 pour les n pairs et 0 pour les n impairs.
Démonstration :
Supposons que pour n>=0, S(n) = 1 si n pair et S(n) = 0 si n impair.
Si n est pair : S(n+1) = S(n) + (-1)^(n+1) = 1 + -1 = 0
Si n est impair : S(n+1) = S(n) = (-1)^(n+1) = 0 + 1 = 1
De plus, S(0) = 1, et S(1) = 0.
Donc par récurrence : pour tout n, S(n) = 1 si n est pair, et S(n) = 0 si n est impair.
---------------------------
Entamons ensuite la démonstration principale.
Supposons que S(n) converge vers un nombre réel A (hypothèse de départ).
Dans ce cas : qque soit e>0, il existe un N tq pour tout n>N :
| S(n) - A | < e (définition de la limite)
Donc tq : S(n) - e < A < S(n) + e
Prenons e = 1/2 (puisque la convergence implique l'inégalité pour tout e > 0)
On sait alors qu'il existe un N tel que pour tout n>N,
S(n) - 1/2 < A < S(n) + 1/2
Or, d'après le lemme préliminaire, S(n) ne prend que 2 valeurs, 1 et 0, alternées.
Prenons un n0 > N tel que S(n0) = 0
Dans ce cas : S(n0) - 1/2 < A < S(n0) + 1/2
=> -1/2 < A < 1/2
Mais, on a aussi que :
S(n0+1) - 1/2 < A < S(n0+1) + 1/2
Or, S(n0+1) = 1 (puisque S(n0) = 0)
Donc : 1 - 1/2 < A < 1 + 1/2
=> 1/2 < A < 3/2
Ce qui implique que A < 1/2 et A > 1/2
Contradiction.
Par l'absurde, l'hypothèse faite au départ (la série S(n) converge vers un nombre réel A) est fausse, et A n'existe pas.
CQFD.
Ziptotozip
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29 déc. 2014 à 02:09
29 déc. 2014 à 02:09
Je ne prends pas une suite "prédéfinie". Je prends la suite des (-1)^n parce que c'est celle qui est utilisée tout au départ pour "démontrer" la valeur de la somme des entiers (on utilise dans la démonstration la valeur de 1 - 1 + 1 - 1 + ... )
Maintenant, on peut aussi démontrer directement que le résultat n'est pas -1/12, à peu près de la même façon, mais je préfère pointer l'erreur qui est faite dans le raisonnement plutôt que d'apporter une démonstration autre pour prouver que le résultat attendu n'existe en réalité pas.
Maintenant, on peut aussi démontrer directement que le résultat n'est pas -1/12, à peu près de la même façon, mais je préfère pointer l'erreur qui est faite dans le raisonnement plutôt que d'apporter une démonstration autre pour prouver que le résultat attendu n'existe en réalité pas.
Raymond PENTIER
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16 août 2014 à 02:45
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Oui, je veux bien essayer de t'éclairer.
L'auteur de l'article a écrit
Pour rester logique (et mathématique) tu aurais dû écrire
(2-3+4-5+6-7) = (1-2+3-4+5-6) - (1-1+1-1+1-1) et non
(2-3+4-5+6-7) = (1-2+3-4+5-6
Tu aurais alors constaté qu'effectivement
B=1 - (1+1 - 2-1 + 3+1 - 4-1 + 5+1 - 6-1) donc en rassemblant les 1 :
B=1 - (1-2+3-4+5-6) - (1-1+1-1+1-1)
CQFD !
L'auteur de l'article a écrit
B = 1 - (2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 +...)mais toi, tu as tout déformé en supprimant les points de suspension !
et en décomposant en deux morceaux le terme entre parenthèses on a
B = 1 - (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ...) - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...)
Pour rester logique (et mathématique) tu aurais dû écrire
(2-3+4-5+6-7) = (1-2+3-4+5-6) - (1-1+1-1+1-1) et non
(2-3+4-5+6-7) = (1-2+3-4+5-6
+7) - (1-1+1-1+1-1)
Tu aurais alors constaté qu'effectivement
B=1 - (1+1 - 2-1 + 3+1 - 4-1 + 5+1 - 6-1) donc en rassemblant les 1 :
B=1 - (1-2+3-4+5-6) - (1-1+1-1+1-1)
CQFD !
Raymond PENTIER
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16 août 2014 à 19:10
16 août 2014 à 19:10
Tu as sollicité un éclaicissement ; je te l'ai fourni.
Maintenant, tu es libre de manipuler les chiffres et les signes à ta guise, et d'obtenir ainsi les résultats les plus fantaisistes ...
Si tu veux, je peux aussi te démontrer que 1+1=3 et que VERT / KROUMIR = CASSOULET, et en prime que, dans la fable de La Fontaine, le lièvre ne va jamais pouvoir dépasser la tortue !
Maintenant, tu es libre de manipuler les chiffres et les signes à ta guise, et d'obtenir ainsi les résultats les plus fantaisistes ...
Si tu veux, je peux aussi te démontrer que 1+1=3 et que VERT / KROUMIR = CASSOULET, et en prime que, dans la fable de La Fontaine, le lièvre ne va jamais pouvoir dépasser la tortue !
Raymond PENTIER
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17 août 2014 à 05:51
17 août 2014 à 05:51
a²-b² = (a+b) x (a-b)
(a²-b²) / (a-b) = (a+b) x (a-b) / (a-b)
(a²-b²) / (a-b) = (a+b)
a=1 & b=1
(1²-1²) / (1-1) = (1+1)
(1-1) / (1-1) = 1+1
1 = 1+1
1+1 = 1+1+1
1+1 = 3
Logique, oui ... sans faille ? pas sûr !
(a²-b²) / (a-b) = (a+b) x (a-b) / (a-b)
(a²-b²) / (a-b) = (a+b)
a=1 & b=1
(1²-1²) / (1-1) = (1+1)
(1-1) / (1-1) = 1+1
1 = 1+1
1+1 = 1+1+1
1+1 = 3
Logique, oui ... sans faille ? pas sûr !
Bonjour
@Help-Jason
Je pense que ton erreur est de ne considérer qu'une partie de l'équation écrite en oubliant le signe - écrit devant.
B=1-(2.....
Il y a un - avant la parenthèse.
En décomposant la parenthèse en 2 parenthèses, le signe entre tes 2 parenthèses est-il influencé par le signe - au début de l'équation?
l'auteur semble dire oui, toi tu sembles dire non.
Dans les échauffements de cette page:
http://sciencetonnante.wordpress.com/2013/05/27/1234567-112/
Je lis tout le long la totalité de l'équation avec un signe -
A=1-.....
B=1-......
moi je ne vois nulle part:
Ils indiquent : (2-3+4-5+6-7) = (1-2+3-4+5-6+7) - (1-1+1-1+1-1)
pourtant je n'ai pas dépassé le cap donc je peux me tromper???
@Help-Jason
Je pense que ton erreur est de ne considérer qu'une partie de l'équation écrite en oubliant le signe - écrit devant.
B=1-(2.....
Il y a un - avant la parenthèse.
En décomposant la parenthèse en 2 parenthèses, le signe entre tes 2 parenthèses est-il influencé par le signe - au début de l'équation?
l'auteur semble dire oui, toi tu sembles dire non.
Dans les échauffements de cette page:
http://sciencetonnante.wordpress.com/2013/05/27/1234567-112/
Je lis tout le long la totalité de l'équation avec un signe -
A=1-.....
B=1-......
moi je ne vois nulle part:
Ils indiquent : (2-3+4-5+6-7) = (1-2+3-4+5-6+7) - (1-1+1-1+1-1)
pourtant je n'ai pas dépassé le cap donc je peux me tromper???
1 - ( 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 ) = 1 - ( 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 ) - ( 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 )
- ( 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 ) = - ( 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 ) - ( 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 )
( 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 ) = ( 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 ) + ( 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -1 ).
"L'erreur" de signe est effectivement notée mais ce n'est pas une erreur en soit mais une simplification que je n'avais pas compris correctement. Donc l'égalité est juste et l'auteur de l'article a bien raison jusque là. Je mets le sujet en résolu et je te remercie de ton aide. Je posterais d'autres de mes problèmes ici (ou je créerais un autre sujet si personne répond). Merci !
- ( 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 ) = - ( 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 ) - ( 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 )
( 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 ) = ( 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 ) + ( 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -1 ).
"L'erreur" de signe est effectivement notée mais ce n'est pas une erreur en soit mais une simplification que je n'avais pas compris correctement. Donc l'égalité est juste et l'auteur de l'article a bien raison jusque là. Je mets le sujet en résolu et je te remercie de ton aide. Je posterais d'autres de mes problèmes ici (ou je créerais un autre sujet si personne répond). Merci !
