Modalité de démission

Bonjour,
Depuis moins d'un an, je suis en contrat étudiant dans un supermarché qui est d'une durée de 15heures par semaine.
Le problème étant que j'ai passé différents "tests" pour rentrer en formation en alternance (BTS Banque) et que j'ai été accepté dans une banque pour début septembre. J'ai donc eu la réponse fin avril et je me suis empresser de le notifier a mon patron du supermarché que je serais obligé d'arreté mon contrat étudiant fin aout, au plus tard. Celui-ci ne m'a à peine répondu...
J'étais donc censé faire encore la saison d'été et partir par la suite.
Or, peu de jours après, je reçois également une lettre de la banque qui m'embauché en septembre pour me dire qu'il m'embaucherai également en juin et juillet. J'étais donc ennuyée parce que il m'étais impossible de refuser cette offre et que la démission pour l'hypermarché s'averait trop tard. Je suis donc allé voir mon employé du supermarché en lui demandant de m'aranger les horaires afin que je puisse travailler pendant mes jours de repos. Celui-ci s'est enervé et ne m'a pas très bien reçu. Au final, il a quand même daigné me donner une réponse (au bout de trois semaines et parce que j'avais beaucoup insisté) en me disant qu'il était daccord pour continuer mon contrat de 15heures. J'ai commencé cette semaine, je traville donc 35heures, en banque et 15heures, dans le supermarché.
Il s'avère que mon patron et le reste sont tout le temps derrière mon dos, qu'il me surveille constamment et qu'à la moindre erreur, il me le font remarquer. Je précise que je travaille quand meme toute la semaine, il est vrai que je fatigue a la fin et que sa m'enerve toutes leurs remarques, alors qu'ils n'avaient rien a me reprocher avant. Mon patron ne me dit meme pas bonjour.

Je voudrais savoir s'il était possible que j'envoye ma lettre de démission soit par recommandé soit la faire passer à une de mes chefs de caisse pour la doner a la DRH, de rendre toutes mes affaires sans faire de préavis?
J'en ai parlé à un proche de ma famille, qui m'a répondu que meme si je ne faisai pas de préavis il ne pourrai rien me faire?
Sachant que nous sommes payés du 15 au 15 et si j'arrete après le 15, serais-je payé?

Merci!