Euh... "O(x²)?"?

Résolu

Yuku Messages postés 199 Date d'inscription Statut Membre Dernière intervention -
Sacabouffe Messages postés 9427 Date d'inscription Statut Membre Dernière intervention - 17 oct. 2008 à 23:13

Bonjour à tous,

Je suis en train de créer un programme qui calcule la puissance, l'exponentielle, le cosinus et le sinus de deux nombres x et n, à partir de quelques formules.

La formule de l'exponentielle est la suivante :

exp(x) = 1 + (x/1!) + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ... + (x^n/n!) + O(x^n)

Tout va bien pour la majorité du calcul, j'ai bien déclaré x et n, et un compteur, etc etc...

Mais qu'est ce que c'est que ce O(x^n)??

Voilà, tout d'abord qu'est-ce-que c'est, et surtout comment le déclarer dans mon programme ?!

Merci d'avance ! :)

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21 réponses

Réponse 1 / 21

Sacabouffe Messages postés 9427 Date d'inscription Statut Membre Dernière intervention 1 835

Oui aussi.
Sinon, une autre manière, tu peux calculer en deux fois.
Si tu veux calculer la somme jusqu'à 4*N+3 où N est donné.

sinx= 0;
for (n=0; n<=N; n++) {
        fact=factorielle(4*n+1);
	sinx = sinx + (x^(4*n+1))/fact;

}
for (n=0; n<=N; n++) {
        fact=factorielle(4*n+3);
	sinx = sinx - (x^(4*n+3))/fact;

}

Réponse 2 / 21

Sacabouffe Messages postés 9427 Date d'inscription Statut Membre Dernière intervention 1 835

Salut
Ben...
O(x^n), c'est une fonction, cette notation, c'est une des notations de Landau :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Notations_de_Landau

En fait, on note O(x^n) (ici on devrait préciser pour x→+∞), toute fonction f telle que f(x)/x^n est bornée (ici en l'occurrence quand x→+∞).

On note o(x^n) (dans le cas qui nous intéresse, pour x→+∞), toute fonction f telle que lim (f(x)/x^n) = 0 (et donc ici, quand x→+∞).

Ta formule est pas fausse mais on peut la raffiner un peu.
exp(x) = 1 + (x/1!) + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ... + (x^n/n!) + O(x^(n+1))
Ou
exp(x) = 1 + (x/1!) + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ... + (x^n/n!) + o(x^n)

Bref, ici donc, ton O(x^(n+1)) ou ton o(x^n), c'est
(x^(n+1)/(n+1)!) + (x^(n+2)/(n+2)!) + (x^(n+3)/(n+3)!) + ... (jusqu'à +∞)

Parce qu'en fait, la formule que t'as écrite, c'est juste une écriture moins précise de
exp(x) = 1 + (x/1!) + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ... + (x^n/n!) + ... (jusqu'à +∞)

Du coup pour ton programme tu t'en occupes pas trop. Tu choisis un n assez grand et tu calcules ta somme jusqu'à n.
Tu peux améliorer le programme en choisissant le n en fonction de x. En effet, un n qui va te donner des résultats très précis pour un x pas trop grand, va donner des résultats beaucoup moins satisfaisants pour un x plus grand. Du coup, tu peux sommer jusqu'à ce que le premier terme du reste ((x^(n+1)/(n+1)!)) soit inférieur à un petit nombre donné.

Par contre, si tu vas jusqu'à des n relativement grands, pense à utiliser une exponentiation rapide.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentiation_rapide
Sinon ça va ramer...

Et dernière chose, je pense que si t'essaies de calculer l'exponentielle d'un grand nombre de cette manière (Quel sera exactement "grand" ? Ben je sais pas trop...), tu vas rapidement avoir des soucis. En effet, x^n→+∞) (tout au moins pour x > 1) et n!→+∞.
En théorie (x^n/n!)→+0 mais numériquement, tu vas avoir à évaluer le quotient de deux grands nombres et t'auras des erreurs numériques monstrueuses. Et en plus, passé n=170, le résultat du calcul de n! sera tout simplement +∞.

Voilà... Amuse-toi bien ! ;-)

Réponse 3 / 21

toto

Bonsoir

Sans entrer dans les détails, ça veut simplement dire un terme négligeable. Donc tu n'as pas à t'en soucier.
Mais pour appliquer ce genre de formule, il faut être capable de calculer le 'n' c'est à dire le nombre de termes à utiliser pour atteindre la précision voulue dans la réponse.

Réponse 4 / 21

Sacabouffe Messages postés 9427 Date d'inscription Statut Membre Dernière intervention 1 835

Ben de rien ;-)

Si tu veux faire un calcul précis, le mieux c'est effectivement des doubles. De toute façon, t'as pas à en stocker une quantité industrielle, juste 3 ou 4, pas de quoi fouetter un chat, tu risques pas d'avoir des soucis d'espace mémoire avec ça :-D

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Réponse 5 / 21

Sacabouffe Messages postés 9427 Date d'inscription Statut Membre Dernière intervention 1 835

C'est là :
https://forums.commentcamarche.net/forum/affich-37622105-langage-c-les-types-de-donnees
Un double a une taille de 8 octets et un long double a une taille de 10 octets.
Tu peux essayer avec un long double aussi pour ton code si tu veux.

Réponse 6 / 21

Sacabouffe Messages postés 9427 Date d'inscription Statut Membre Dernière intervention 1 835

Tu fais une boucle où t'incrémentes n de 1, mais dans pour la formule t'utilises 2n+1, et voili voilou...8-)

Réponse 7 / 21

Sacabouffe Messages postés 9427 Date d'inscription Statut Membre Dernière intervention 1 835

Si tu veux t'arrêter à 43 par exemple (43=2*21+1)

sinx= 0;
for (n=0; n<=21; n++) {
        fact=factorielle(2*n+1);
	sinx = sinx + ((-1)^n)*(x^(2*n+1))/fact;

}

Où factorielle sera ta fonction pour calculer ta factorielle bien évidemment... (^_^)

Réponse 8 / 21

fiddy Messages postés 11069 Date d'inscription Statut Contributeur Dernière intervention 1 846

-5 7 -9, ça sonne comme un incrément de deux avec changement de signes.
Donc si c'est négatif tu multiplies par -1 et t'ajoutes 2. Sinon tu multiplies par -1 et tu soustrais 2 ;)

coeff=coeff>0?-coeff-2:-coeff+2;

Cdlt

Réponse 9 / 21