¡Problema con el termostato ambiente!

Hola
alquilo un apartamento con calefacción de gas controlada por un termostato de ambiente Thermoflash... pequeño problema, este termostato funciona con 2 pilas LR6, pero el lugar para las pilas ya no se sostiene (se encuentra debajo de la carcasa y el gancho que permite abrir y mantener cerrado el compartimento de las pilas está roto) así que las pilas ya no hacen buen contacto y a veces el termostato se apaga.
Mi problema es saber si consumo gas de manera incontrolada cuando mi termostato está apagado (y por supuesto mis radiadores también están apagados), ¡tengo miedo por mi factura!!!!

Además, me gustaría reemplazar el sistema roto de la carcasa de las pilas, pero no estoy seguro de que se pueda hacer y me imagino que cambiar completamente el termostato me costará una pequeña fortuna... ¿tendría alguna idea sobre lo que debería hacer? Temo que los propietarios no me crean culpable de haber roto el termostato y me quiten el depósito al devolver el apartamento, aunque no tengo la culpa y, por supuesto, no puedo probarlo.

¡Gracias de antemano por su valiosa ayuda!