Probleme avec messagerie Alice

Bonjour,
Ma fille possède une Alice box et lorsque je lui envoie des courriels (principalement des PPS avec pièces jointes), une partie des messages me reviennet (Undelivered Mail Returned to Sender) Visiblement, sa boîte aux lettres doit êttre pleine (elle la vide régulièrement pourtant tous les jours)
Interrogé à ce sujet, Alice lui a envoyé un courriel l'informant que la capacité de sa boîte était de 10 Mo (!) et qu'elle pouvait l'augmenter moyennant un abonnement de 3 euros par mois (!!)
Je lui ai donc conseilé d'inataller Google mail ce qu'elle a fait. (6 Go)
Pourtant, certains messages me reviennent toujours avec la même mention (Undelivered Mail Returned to Sender)
Ma question est donc la suivante : en s'inscrivant à Gmail (ou autre webmail) le courrier continue-t-il à transiter par la boîte de son FAI, ici Alice ? Ce qui expliquerai les messages d'erreurs. Dans ce cas, je pense que Gmail doit vider automatiquement la boîte d'Alice et il ne devrait plus y avoir de message d'erreur.
Je ne comprends pas et ne sait pas comment obtenir une boîte avec une capacité suffisante
Merci de vote aide