Décoder JSON avec PHP sur plusieurs niveaux

Bonjour,
J'ai un problème avec mon code et je n'arrive pas à le debugger. Je souhaite récupérer, en PHP, une variable très précise dans un fichier JSON. Or, j'ai du mal à récupérer la variable en question en raison du fait que le fichier JSON est à multiples niveaux.

Voici le fichier JSON en question :

[{
        "ville": {
            "cp": "01000",
            "nom": "SAINT DENIS LES BOURG",
            "dept": "01",
            "cooordonnees": {
                "id": "1",
                "latitude": "4620114",
                "longitude": "519791",
                "points": [{
                    "id": "1",
                    "nom": "Mag1"
                }, {
                    "id": "2",
                    "nom": "Mag2"
                }, {
                    "id": "3",
                    "nom": "Mag3"
                }]
            }
        }
    }, {
        "ville": {
            "cp": "01000",
            "nom": "BOURG EN BRESSE",
            "dept": "01",
            "cooordonnees": {
                "id": "1",
                "latitude": "4619566",
                "longitude": "522935",
                "points": [{
                    "id": "1",
                    "nom": "Mag4"
                }, {
                    "id": "2",
                    "nom": "Mag5"
                }]
            }
        }
    }, {
        "ville": {
            "cp": "01000",
            "nom": "BOURG EN BRESSE",
            "dept": "01",
            "cooordonnees": {
                "id": "2",
                "latitude": "4622100",
                "longitude": "524500",
                "points": [{
                    "id": "1",
                    "nom": "Mag6"
                }, {
                    "id": "2",
                    "nom": "Mag7"
                }, {
                    "id": "3",
                    "nom": "Mag8"
                }, {
                    "id": "4",
                    "nom": "Mag9"
                }]
            }
        }
    }
]

etc...

Et voici mon code PHP

$file = 'fichier.json'; 
$data = file_get_contents($file); //mise du fichier dans une variable
$obj = json_decode($data); // décoder le flux JSON

Avec cette requête :

echo $obj['ville'][3]->cp;

Rien ne s'affiche. J'ai testé ça aussi :

$results = array_filter($obj['ville'], function($ville) {
   return $ville['nom'] == "BOURG EN BRESSE";
 });
 var_dump($results);

Mais c'est un "NULL" qui ressort.

Ce que je souhaiterais, c'est lui dire : "écrit cette information précise sur telle ville".

Quelqu'un pourrait-il m'aider svp ? Merci d'avance.