Récupérer les données d'une liste déroulante dans un champs input text

Bonjour à tous,

Voici pas mal de temps que je planche sur un problème sans parvenir à le résoudre malgré de nombreuses recherches sur différents forums :

J'ai un formulaire constitué d'un <select> qui récupère une liste de produits dans une base mysql et de 3 input type="text" (Produit, Prix, Code TVA). Je souhaiterais que lorsque je sélectionne un produit dans ma liste déroulante, le produit, le prix et le code TVA s'affichent dans les champs des input correspondants afin d'éventuellement pouvoir les modifier (si le prix change par exemple). Ces données seront ensuite traitées dans un autre fichier .php.

Après un nombre incalculable d'essais, voici le code qui me paraissait le plus logique, et qui évidemment ne fonctionne pas. Mes champs restent désespérément vides (Ceci est un fichier de test, c'est la raison pour laquelle l'aspect sécurité n'est pas géré) :

<form action="test_traitement.php" method="post">
            <label for="select">Sélectionner un nom à modifier ou ajouter un nouveau nom : </label><br>
            <select name="select" id="select"> 
                <option value=""></option>

                <?php
                    $conn = new PDO ('mysql:host=localhost;dbname=test' , 'root' , 'root');

                    
                    $req = $conn->query('SELECT * FROM produits ORDER BY produits');
        // Je crée un tableau associatif avec des valeurs vides
                    $value_input = array(
                        'produits' => "",
                        'prix' => "",
                        'tva' => "");
        // Je parcoure le tableau dont je récupère les valeurs pour les stocker dans mon tableau
                        while ($res = $req->fetch()) {
                           echo "<option class='opt' value=" . $res['id'] . ">" . $res['produits'] . "</option>";
                           if ( $_POST['select'] == $res['id'] ) {
                              $value_input['produits'] = $res['produits'];
                              $value_input['prix'] = $res['prix'];
                              $value_input['tva'] = $res['tva'];

                           }
                        }
                ?>  

            </select><br>

         <!-- Je cherche à afficher les valeurs de mon tableau associatif dans les value de mes input -->
            <label for="nom">Produit : </label><input type="text" name="nom" value="<?php echo "$value_input[produits]";?>"/><br>
            <label for="prenom">Prix : </label><input type="text" name="prenom" value="<?php echo "$value_input[prix]";?>"/><br>
            <label for="nom">Code TVA : </label><input type="text" name="ville" value="<?php echo "$value_input[tva]";?>"/><br>
            <input type="submit" name="add" value="Enregistrer">
        </form>

Je vous remercie par avance de l'aide que vous pourrez m'apporter.
Bien cordialement !

Patrick.