Dès qu'il passe sur batterie, mon portable Dell s'éteint

Bonjour,
Depuis quelques temps, dès que je débranche la prise secteur, mon portable Dell Latitude E5540 s'éteint direct.
J'ai testé le truc lu sur les forums (débrancher, enlever la batterie, appuyer sur l'interrupteur 25s, puis tout remettre). Cela a permis à ce que la batterie ne soit plus indiquée comme "58%, connecté, pas en charge" et passe en charge, mais cela n'a pas résolu le problème que dès que je le débranche, il s'éteint.
J'ai pensé que cela venait d'un problème de batterie : dans la BIOS, elle est nickel, l'ac adapter est à 65 W. Elle est chargée à 100% et j'ai fait le diagnostic Dell qui n'indique aucun souci avec la batterie.
Je suis retournée voir la BIOS qui indique un problème de surchauffe aux heures de coupure : à l'instant où je passe sur batterie, l'ordi se considère en surchauffe (code #M1004) et s'éteint. Je ne comprends pas : je travaille des heures, branché au secteur, le ventilo fonctionne etc et si l'ordi n'est pas sur secteur, impossible de l'allumer et dès que je le débranche, il s'éteint illico. J'ai démonté, dépoussiérer et vérifier et tout semble marcher.
Devant beaucoup me déplacer en train, je galère carrément car même lorsqu'il y a des prises électriques, les coupures sont très fréquentes et je crains que toutes ces coupures intempestives en plein travail endommagent à force l'ordinateur (en plus de la perte de temps occasionné).
Je suis à cours d'idée, ai été voir un réparateur qui ne savait pas quoi faire hormis immobiliser l'appareil plusieurs jours pour le démonter au cas où ce serait un problème de connexion (alors que la batterie est reconnue et se recharge...), ai laissé un message à Dell mais suis restée sans réponse et commence... je commence à désespérer face à ce problème sur un ordi de tout juste un an (donc plus sous garantie !)
Si vous avez des pistes de recherche pour trouver une solution, je suis preneuse.