Valider adresse courriel dans formulaire PHP

Bonjour,

J'ai créé un formulaire dans lequel la personne doit écrire son adresse courriel. Une fois que la personne appuie sur "Envoyer", le formulaire est envoyé vers une adresse courriel. Mon code initial vérifiait que "quelque chose" avait bien été entré dans la case "Courriel".

Voici ce code:

<?php

if (strlen($_POST['courriel']) > 0)
{ $courriel = TRUE;
}
else
{ $courriel = FALSE; 
}

if ($courriel)
{ $msg = "À ajouter à la liste de distribution des bulletins: {$_POST['courriel']}\n";

  $recipient = "mon@adresse.com";
  $subject = "Courriel pour liste de distribution"; 
  $mailheaders = "Bulletin BMG\n";
  $mailheaders .= "Reply-To: {$_POST['courriel']}\n\n"; 
  
  mail($recipient, $subject, $msg, $mailheaders); 
  
echo "<p><b><font color='#93FF23'>Merci, votre adresse courriel a bien été transmise!</font></b></p>";
}
else
{ echo "<p><b><font color='#93FF23'>Vous avez oublié d'indiquer votre adresse courriel.</font></b></p>";
}

?>

Maintenant, j'aimerais que mon code vérifie si l'adresse courriel est valide avant l'envoie du formulaire. J'ai modifié mon code, mais peu importe ce que la personne écrit, ça envoie quand même le formulaire. Voici mon code modifié:

<?php

if(filter_var($courriel, FILTER_VALIDATE_EMAIL) === TRUE)
{ $courriel = TRUE;
}
else
{ $courriel = FALSE;
}

if ($courriel)
{ $msg = "À ajouter à la liste de distribution des bulletins: {$_POST['courriel']}\n";

  $recipient = "mon@adresse.com";
  $subject = "Courriel pour liste de distribution"; 
  $mailheaders = "Bulletin BMG\n";
  $mailheaders .= "Reply-To: {$_POST['courriel']}\n\n"; 
  
  mail($recipient, $subject, $msg, $mailheaders); 
  
echo "<p><b><font color='#93FF23'>Merci, votre adresse courriel a bien été transmise!</font></b></p>";
}
else
{ echo "<p><b><font color='#93FF23'>Vous devez entrer une adresse courriel valide.</font></b></p>";
}

?>

Je ne voudrais pas que le formulaire s'envoie si l'adresse courriel n'est pas valide... où est l'erreur dans mon code?

Merci!