Determinant d'une matrice

hajerboug -  
Bonsoir,
j'essaie de faire un programme de réseaux ouverts de files d'attentes avec turbo pascal(TP7) dont j'ai besoin de calculer le déterminant d'une matrice donnée.
Le problème c'est que lorsque j'exécute le programme m'affiche une valeur différente de celle que j'ai calculé manuellement.(c-a-d il m'affiche une fausse valeur).
Si vous pouvez m'aider a trouver l'erreur dans mon programme.
Voici le code que j'ai réalisé: 

procedure det_aux( ma:matrice;var mb:matrice;l,c:integer); 
    var i,j,d,e:integer; 
    begin 

    e:=1; 
    for i:=1 to l  do 
     begin 
    d:=1; 
     if (i<>1) then 
     begin 
     for j:=1 to N do 
     if(j<>c) then 
     begin 
     mb[e,d]:=ma[i,j]; 
     d:=d+1; 
     end; 
     e:=e+1; 
    end; 
    end; 
    end; 


    function expo(n:integer):integer; 
    begin 
    if (n mod 2=0) then expo:=1 
    else 
     expo:=-1 ; 
     end; 


     function determinant(m:matrice;l:integer):real; 
      var i:integer; 
      var m2:matrice; 
      var x:real; 
    begin 
     x:=0; 
     if(l=1) then determinant:=m[1,1] 
     else 
     begin 
     for i:=1 to l do 
     begin 
     det_aux(m,m2,i,1); 
     x:=x+(expo(i)*m[i,1]*determinant(m2,(l-1))); 
    end; 
     determinant:=x; 
     end; 
     end;

Merci

7 réponses

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  1. KX Modérateur
    Dans det_aux, tu as mis : if (i<>1) then au lieu de if (i<>l) then
    De plus tu vas jusqu'à N sur j, or tu devrais t'arrêter à l comme pour i.

    Je ne sais pas si c'est suffisant, néanmoins quelques conseils supplémentaires :

    Utilises result dans les fonctions plutôt que le nom de la fonction.
    Exemple : result:=x; au lieu de determinant:=x;

    De plus je pense que tu aurais intérêt à faire de det_aux une fonction plutôt qu'une procédure (et la renommer) : function matricePriveDe(m:matrice; l,c:integer):matrice;

    Comme ça ton calcul principal est plus clair :
    result := result + expo(i)*m[i,1]*determinant( matricePriveDe(m,i,1), l-1);
    1. hajerboug
      bonsoir,
      J'ai essayé de faire ce que vous m'avez dit mais dommage ça ne marche pas aussi surtout le cas où la taille de la matrice est supérieur à 2!!!!!!
      Merci beaucoup pour tes conseils, mais a propos de la fonction pascal d'après ce que je cannais pascal ne peut pas me rendre une matrice, c'est pour cela que j'ai fait une procédure(par contre en C on peut la faire normalement).
      Vous ne pouvez pas encore m' aidé car si je n'arrive pas à résoudre le problème du déterminant, toutes les valeurs qui viennent après seront fausses(parce qu'elles ont un rapport avec le déterminant).
      merci.
      1. KX Modérateur
        Tout dépend comment est fait ton type matrice...

        Voici ce que j'ai fais en utilisanr à peu près le même algorithme que toi.
        Mais je ne savais pas ce qu'était ton type matrice, alors j'ai fais le mien... 

        PROGRAM Determinants;

const NMAX = 20;

type matrice = record
               tableau : array[1..NMAX,1..NMAX] of real;
               nbLignes : byte;
               nbColonnes : byte;
               end;

function matricePriveDe(m:matrice; ligne,colonne:byte):matrice;
var l,c:byte;
begin
     result.nbLignes:=m.nbLignes-1;
     result.nbColonnes:=m.nbColonnes-1;

     for l:=1 to ligne-1 do
     begin
          for c:=1 to colonne-1 do
              result.tableau[l,c]:=m.tableau[l,c];

          for c:=colonne+1 to m.nbColonnes do
              result.tableau[l,c-1]:=m.tableau[l,c];
     end;
        
     for l:=ligne+1 to m.nbLignes do
     begin
          for c:=1 to colonne-1 do
              result.tableau[l-1,c]:=m.tableau[l,c];

          for c:=colonne+1 to m.nbColonnes do
              result.tableau[l-1,c-1]:=m.tableau[l,c];
     end;
end;

procedure afficher(m:matrice);
var l,c:byte;
begin
     for l:=1 to m.nbLignes do
     begin
          for c:=1 to m.nbColonnes do
              write(m.tableau[l,c]:0:2,chr(9));
          writeln;
     end;
     writeln;
end;

function determinant(m:matrice):real; // calcul sur la première ligne
var c:byte; r:real;
begin
     if m.nbLignes=1
     then exit(m.tableau[1,1]);

     result:=0;
     for c:=1 to m.nbLignes do
     begin
         if m.tableau[1,c]=0
         then r:=0
         else r:=m.tableau[1,c]*determinant(matricePriveDe(m,1,c));

         if odd(c)
         then result:=result-r
         else result:=result+r;
     end;
end;

VAR m:matrice;
BEGIN
     m.nbLignes:=3;
     m.nbColonnes:=3;

     m.tableau[1,1]:=4; m.tableau[1,2]:=3; m.tableau[1,3]:=1; // 4 3 1
     m.tableau[2,1]:=5; m.tableau[2,2]:=2; m.tableau[2,3]:=7; // 5 2 7
     m.tableau[3,1]:=8; m.tableau[3,2]:=0; m.tableau[3,3]:=2; // 8 0 2

     afficher(m);

     writeln(determinant(m):0:3); // 138.000
     readln;
END.
      2. hajerboug
        voici mon type matrice:
        const nb_max=10
        Type matrice = array [1..nb_max,1..nb_max] of real;
        ..
        ..
        ..
        J'ai pas pu utiliser la fonction:
        function matricePriveDe(m:matrice; ligne,colonne:byte):matrice; car pascal ne peut pas me rendre une matrice,, vous ne pouvez pas me transformer cette fonction en procédure??
        pour que je puisse l'utiliser!!!
        j' attend votre réponse.
        merci d'avance
    2. KX Modérateur
      Il est possible de mettre ton type matrice en résultat d'une fonction (d'ailleurs je ne connais aucun type qui ne peut pas être passé en retour d'une fonction)

      J'ai adapté mon code à ton type matrice ce qui donne : 

      PROGRAM Determinants;

const nb_max = 10;

type matrice = array [1..nb_max,1..nb_max] of real;

function matricePriveDe(m:matrice;
         nbLigne,nbColonne,ligne,colonne:byte):matrice;
var l,c:byte;
begin
     for l:=1 to ligne-1 do
     begin
          for c:=1 to colonne-1 do
              result[l,c]:=m[l,c];

          for c:=colonne+1 to nbColonne do
              result[l,c-1]:=m[l,c];
     end;
        
     for l:=ligne+1 to nbLigne do
     begin
          for c:=1 to colonne-1 do
              result[l-1,c]:=m[l,c];

          for c:=colonne+1 to nbColonne do
              result[l-1,c-1]:=m[l,c];
     end;
end;

procedure afficher(m:matrice; nbLignes,nbColonnes:byte);
var l,c:byte;
begin
     for l:=1 to nbLignes do
     begin
          for c:=1 to nbColonnes do
              write(m[l,c]:0:2,chr(9));
          writeln;
     end;
     writeln;
end;

function determinant(m:matrice; nbLC:byte):real; // calcul sur la première ligne
var c:byte; r:real;
begin
     if nbLC=1
     then exit(m[1,1]);

     result:=0;
     for c:=1 to nbLC do
     begin
         if m[1,c]=0
         then r:=0
         else r:=m[1,c]*determinant(matricePriveDe(m,nbLC,nbLC,1,c),nbLC-1);

         if odd(c)
         then result:=result-r
         else result:=result+r;
     end;
end;

VAR m:matrice;
BEGIN
     m[1,1]:=4; m[1,2]:=3; m[1,3]:=1; // 4 3 1
     m[2,1]:=5; m[2,2]:=2; m[2,3]:=7; // 5 2 7
     m[3,1]:=8; m[3,2]:=0; m[3,3]:=2; // 8 0 2

     afficher(m,3,3);

     writeln(determinant(m,3):0:3); // 138.000
     readln;
END.
      1. hajerboug
        bonjour,,
        Merci beaucoup.
        J'ai essayé ce que vous avez fait, j'ai pas dit que ça ne marche pas sans tester.
        J'ai fait et j'ai exécuté le programme et voici l'erreur qui s'affiche:
        ERROR 34: INVALID FUNCTION RESULT TYPE.
        (car en pascal le type MATRICE peut pas être en retour d'une fonction c'est pour cela j'aimerai bien remplacé la fonction: matricePriveDe avec une procédure pour que je puisse exécuté le programme )
        J'attend votre reponse et merci.
    3. KX Modérateur
      En Pascal on peut le faire, j'ai testé le code avec Dev-Pascal et ça marche très bien, c'est juste Turbo Pascal qui fait un petit caprice voilà tout ^^

      Alors avec une procédure ça donnerait : 

      procedure matricePriveDe(m:matrice;
         nbLigne,nbColonne,ligne,colonne:byte;
         var mpd:matrice);
var l,c:byte;
begin
     for l:=1 to ligne-1 do
     begin
          for c:=1 to colonne-1 do
              mpd[l,c]:=m[l,c];

          for c:=colonne+1 to nbColonne do
              mpd[l,c-1]:=m[l,c];
     end;
        
     for l:=ligne+1 to nbLigne do
     begin
          for c:=1 to colonne-1 do
              mpd[l-1,c]:=m[l,c];

          for c:=colonne+1 to nbColonne do
              mpd[l-1,c-1]:=m[l,c];
     end;
end;

function determinant(m:matrice; nbLC:byte):real; // calcul sur la première ligne
var c:byte; r:real; var mpd:matrice;
begin
    //...
         else begin
              matricePriveDe(m,nbLC,nbLC,1,c,mpd);
              r:=m[1,c]*determinant(mpd,nbLC-1);
              end;
    //...
end;
      1. hajerboug
        bonsoir,merci d'abord pour la réponse je vais essayer avec DEVpascal.
        j'ai fait le même programme avec delphi7 pour la simulation des réseaux ouverts de filles d'attentes,pour calculer les arrivées (lambda=A(I-M)puissance (-1))
        (tel que:A(vecteur),I:matrice identité et M:matrice de routage).
        Je suis obligé de faire des opération sur les matrices:
        1:différence entre les 2 matrices(I-P)
        2:l'inverse du résultat(inverse(I-P))
        3:produit de A * le résultat(A*inverse(I-P))
        4:le résultat final du produit c'est lambda.
        Mais le problème c'est que les valeurs que j'ai obtenues (qui sont affichées lorsque j'exécute le programme)sont fausses par rapport aux celles que j'ai calculées manuellement.
        j'ai vérifié les étapes pas à pas mais je n'arrive pas à connaitre où il y a l'erreur.
        Voici le code que j'ai réalisé si vous pouvez m'aidé à trouver l'erreur pour que lambda soit correcte. 

        const NMAX = 20;
type tab=array[1..nmax]of real;
type matrice = record
               tableau : array[1..NMAX,1..NMAX] of real;
               nbLignes : byte;
               nbColonnes : byte;
               end;



les opérations:


 function matricePriveDe(m:matrice; ligne,colonne:byte):matrice;
var l,c:byte;
begin
     result.nbLignes:=m.nbLignes-1;
     result.nbColonnes:=m.nbColonnes-1;

     for l:=1 to ligne-1 do
     begin
          for c:=1 to colonne-1 do
              result.tableau[l,c]:=m.tableau[l,c];

          for c:=colonne+1 to m.nbColonnes do
              result.tableau[l,c-1]:=m.tableau[l,c];
     end;

     for l:=ligne+1 to m.nbLignes do
     begin
          for c:=1 to colonne-1 do
              result.tableau[l-1,c]:=m.tableau[l,c];

          for c:=colonne+1 to m.nbColonnes do
              result.tableau[l-1,c-1]:=m.tableau[l,c];
     end;
end;

function determinant(m:matrice):real; // calcul sur la première ligne
var c:byte; r:real;
begin
     if m.nbLignes=1
     then
     begin
     result:=m.tableau[1,1];
     exit;
     end;
     result:=0;

     for c:=1 to m.nbLignes do
     begin
         if m.tableau[1,c]=0
         then r:=0
         else r:=m.tableau[1,c]*determinant(matricePriveDe(m,1,c));

         if not odd(c)
         then result:=result-r
         else result:=result+r;
     end;
end;



  function expo(n:integer):integer;
    begin
    if (n mod 2=0) then expo:=1
    else
     expo:=-1 ;
     end;


      procedure coffacteur(ma:matrice;var mb:matrice;l:integer);
    var i,j : integer;
    var m2:matrice;
    begin
    if l=1 then
     begin
     mb.tableau[1,1]:=1;
    end
     else
     begin
     for i:=1 to l do
     begin
     for j:=1to l do
     begin
     
     m2:=matricePriveDe(m,i,j);
     mb.tableau[i,j]:=expo(i+j)*determinant(m2);
     end;
     end;
     end;
     end;

     procedure transp_mat(ma:matrice;var mb:matrice);
    var i,j:integer;
    begin
    for i:=1 to N do
   begin
    for j:=1  to N do
     begin
     mb.tableau[j,i]:=ma.tableau[i,j];
     end;
     end;
     end;

     procedure multi_R(a:real;ma:matrice; var mb:matrice);
      var i,j:integer;
    begin
     for i:=1 to N do
     begin
     for j:=1 to N do
     begin
     mb.tableau[i,j]:=ma.tableau[i,j]*a;
    end;
    end;
    end;


     procedure inverse(ma:matrice;var mb:matrice;l:integer);
     var m1,m2:matrice;
     d:real;
    begin
     if determinant(ma)<> 0 then
     begin
     d:=(1/determinant(ma));
     writeln ('1/d = ',d);
     coffacteur(ma,m1,l);
    
     transp_mat(m1,m2);
     
     multi_R(d,m2,mb);
    
    end;
     end;
 procedure produimat (t:tab; M:matrice;N:integer; var r:tab);
 var i,j,k:integer;
 begin
 for i:=1 to N do
 begin
 r[i]:=0;
 for j:=1 to N do
 r[i]:=r[i]+t[j]*M.tableau[j,i];
 end;
 end;
  procedure init_identite (var m:matrice;n:integer);
  var i,j:integer;
  begin
  for i:=1 to n do
  for j:=1 to n do
  if i=j then m.tableau[i,j]:=1
  else  m.tableau[i,j]:=0;
  end;

  procedure difmat(m1,m2:matrice;var m3:matrice);
  var i,j: integer;
  begin
  for i:=1 to N do
  for j:=1 to N do
  m3.tableau[i,j]:=m1.tableau[i,j]-m2.tableau[i,j];
  end;

 procedure calcullambda (t:tab; M:matrice);
  var i:integer;
  I_P:matrice;
 begin
 init_identite(mat_I,n);
  difmat(mat_I,M,I_P);
  
  I_P.nbLignes:=m.nbLignes;
  I_P.nbColonnes:=m.nbColonnes;
  mat_inv.nbLignes:=m.nbLignes;
  mat_inv.nbColonnes:=m.nbColonnes;
  inverse(I_P,mat_inv,N);
  
 produimat (t,mat_inv,N,lambda);
 affichlambda (lambda,N);
 end;


        Merci j'attend votre réponse.
      2. KX Modérateur
        Si A est un vecteur colonne, la multiplication A*B impose que B soit un vecteur ligne, or (I-P)^(-1) est une matrice carrée ce qui pose un "petit" problème.
        Par contre, on pourrait avoir (I-P)^-1*A ce qui donnerait toujours une "division" par (I-P) mais dans ce cas lambda serait un vecteur colonne... est-ce ce que l'on doit obtenir ?
    5. KX Modérateur
      Je regarderais plus un détail le reste du code demain si ça ne résout pas ton problème, mais tu as modifié mon code de façon erronée :

      Tu as écrit : 

      if not odd(c)
then result:=result-r
else result:=result+r;

      Alors que moi j'avait écrit : 

      if odd(c)
then result:=result-r
else result:=result+r;
      1. hajerboug
        si je laisse odd, les signes de la matrice s'affichent à leur contraire (Par exemple + à la place de - et vice versa).En ajoutant not , le problème des signes est résolu, mais le calcul de Lambda est toujours erroné.
        Merci
      2. KX Modérateur
        Autant pour moi, je me suis fait avoir par mon exemple (j'obtient +138.0 avec ou sans le not)
        Effectivement c'est logique, on a un + quand c est impair (car 1 est impair), et - sinon.

        Dans ce cas il est plus propre d'écrire : 

        if odd(c)
then result:=result+r
else result:=result-r;

        Je vais chercher le problème avec le reste du code, je te dirais ça demain.
    6. KX Modérateur
      Je n'ai pas repris ton code car je trouve que tu fais beaucoup plus de fonctions que tu n'en as besoin !

      J'ai donc repris tes 4 points et fais une fonction pour chacun des ces 4 points.
      Faire des fonctions intermédiaires n'est pas utile ici puisque tes 3 premiers points définissent déjà les fonctions intermédiaires de la quatrième.

      De plus, pour être cohérent, j'ai modifié ton type tab en un type vecteur qui contient la taille réelle de celui-ci (comme le type matrice). Ça évite d'avoir à se promener avec des paramètres de tailles dans les fonctions alors qu'ils sont inhérents non pas au calcul mais aux données !

      Remarque : je n'ai pas effectué de tests, je te laisse le soin de regarder ce que ça donne... 

      PROGRAM Determinants;
        
//---------------------------------------------

const NMAX = 20;

type vecteur = record
               tableau : array[1..NMAX] of real;
               nbLignes : byte;
               end;

type matrice = record
               tableau : array[1..NMAX,1..NMAX] of real;
               nbLignes : byte;
               nbColonnes : byte; 
               end;
       
//---------------------------------------------

function matricePriveDe(m:matrice; ligne,colonne:byte):matrice;
var l,c:byte;
begin
     result.nbLignes:=m.nbLignes-1;
     result.nbColonnes:=m.nbColonnes-1;

     for l:=1 to ligne-1 do
     begin
          for c:=1 to colonne-1 do
              result.tableau[l,c]:=m.tableau[l,c];

          for c:=colonne+1 to m.nbColonnes do
              result.tableau[l,c-1]:=m.tableau[l,c];
     end;

     for l:=ligne+1 to m.nbLignes do
     begin
          for c:=1 to colonne-1 do
              result.tableau[l-1,c]:=m.tableau[l,c];

          for c:=colonne+1 to m.nbColonnes do
              result.tableau[l-1,c-1]:=m.tableau[l,c];
     end;
end;
              
//---------------------------------------------

function determinant(m:matrice):real;
var c:byte; r:real;
begin
     if m.nbLignes=1
     then
     begin
     result:=m.tableau[1,1];
     exit;
     end;
     result:=0;

     for c:=1 to m.nbLignes do
     begin
         if m.tableau[1,c]=0
         then r:=0
         else r:=m.tableau[1,c]*determinant(matricePriveDe(m,1,c));

         if odd(c)
         then result:=result+r
         else result:=result-r;
     end;
end;

//---------------------------------------------

function difference(m:matrice):matrice; // calcul de (I-M)
var l,c:byte;
begin
     result.nbLignes:=m.nbLignes;
     result.nbColonnes:=m.nbColonnes;

     for l:=1 to m.nbLignes do
     for c:=1 to m.nbColonnes do
         if l=c
         then result.tableau[l,c]:=1-m.tableau[l,c]
         else result.tableau[l,c]:=-m.tableau[l,c];
end;             

//---------------------------------------------

function inverse(m:matrice):matrice; // méthode des cofacteurs
var l,c:byte; r,d:real;
begin
     d:=determinant(m);

     if d=0
     then begin
          writeln('matrice non inversible');
          halt;
          end;

     result.nbLignes:=m.nbColonnes;
     result.nbColonnes:=m.nbLignes;

     for l:=1 to m.nbLignes do
     for c:=1 to m.nbColonnes do
     begin
         r:=determinant(matricePriveDe(m,l,c)); // cofacteur

         if odd(l+c)
         then result.tableau[c,l]:=-r/d  // on transpose directement 
         else result.tableau[c,l]:= r/d; // sans oublier la division
     end;
end;                       

//---------------------------------------------

function multiplier(m:matrice;v:vecteur):vecteur; // m*v
var l,c:byte; r:real;
begin
     if m.nbColonnes<>v.nbLignes
     then begin
          writeln('multiplication incompatible');
          halt;
          end;

     result.nbLignes:=v.nbLignes;

     for l:=1 to m.nbLignes do
     begin
          r:=0;

          for c:=1 to m.nbColonnes do
              r:=r+m.tableau[l,c]*v.tableau[c];

          result.tableau[l]:=r;
     end;
end;                               

//---------------------------------------------

function lambda(m:matrice;v:vecteur):vecteur;
begin
     result:=multiplier(inverse(difference(m)),v);
end;

//---------------------------------------------

BEGIN

END.

      La confiance n'exclut pas le contrôle
      1. hajerboug
        Salut!
        J'ai essayé ton programme sous Delphi,mais il affiche [erreur]project2.dpr[319]:";"attendu(e)mais"."trouvé(e)
        [erreur]project20dpr(321):declaration attendu(e) mais fin de fichier trouvé(e)
        Il est 02h .
        A demain .
      2. KX Modérateur
        Ce n'est pas un programme en soit, il manque la première ligne program nomDuProgramme;
        Je n'ai pas mis le code des fonctions matricePriveDe et determinant, et je n'ai pas mis le begin end.
      3. hajerboug
        Salut!
        J'ai déjà mis la premiére ligne program nomDuProgramme; et le code de toutes les fonctions, y compris celles que vous avez citées, ainsi que le begin et end du programme principal.Toujours le même problème sus cité.
      4. KX Modérateur
        En mettant les deux fonctions matricePriveDe et Determinant, as-tu pensé à enlever les deux lignes suivantes : 

        function matricePriveDe(m:matrice; ligne,colonne:byte):matrice;
function determinant(m:matrice):real;

        Je n'ai pas Delphi pour tester, mais pour l'avoir utilisé il y a quelques années je ne pense pas que ça vienne d'un bug de Delphi (contrairement à TP7) donc comme ça marche chez moi sur Dev-Pascal, ça doit marcher chez toi sur Delphi ^^
      5. KX Modérateur
        J'ai modifié mon post de cette nuit, il contient tout le code maintenant...
    7. KX Modérateur
      Resource file icon file not found : tu as surement dû vouloir faire un nouveau projet ou je ne sais pas trop quoi dont je ne me sers jamais...
      Si tu fais un "New Source File (Ctrl+U)" et que tu colles exactement ce que j'ai mis dans Dev-Pascal et que tu enregistres ça dans un fichier .pas, ça marche (c'est ce que je fais)

      Il est possible qu'il ne t'affiche que des 0.00 car les valeurs sont trop petites.
      En effet ma fonction d'affichage (que je n'avais pas remise d'ailleurs) tronquait les valeurs à 2 chiffres après la virgule, donc 0.002 est tronquée en 0.00

      De mon côté j'ai fait quelques tests, et je trouve à la main les même résultats que le programme pour déterminant, différence, inverse, et multiplier (je n'ai pas fait lambda mais ça se déduit des précédents) 

      //---------------------------------------------

const NCAV = 4; // nombre de chiffres après la virgule

procedure afficher(m:matrice);
var l,c:byte;
begin
     for l:=1 to m.nbLignes do
     begin
          for c:=1 to m.nbColonnes do
              write(m.tableau[l,c]:0:NCAV,chr(9));
          writeln;
     end;
     writeln;
end;

procedure afficher(v:vecteur);
var l:byte;
begin
     for l:=1 to v.nbLignes do
         writeln(v.tableau[l]:0:NCAV);
     writeln;
end;

var m:matrice; v:vecteur;
BEGIN
     m.nbLignes:=3;
     m.nbColonnes:=3;

     m.tableau[1,1]:=6; m.tableau[1,2]:=2; m.tableau[1,3]:=5;
     m.tableau[2,1]:=7; m.tableau[2,2]:=1; m.tableau[2,3]:=0;
     m.tableau[3,1]:=4; m.tableau[3,2]:=8; m.tableau[3,3]:=3;

     afficher(m); // OK

     v.nbLignes:=3;

     v.tableau[1]:=5;
     v.tableau[2]:=2;
     v.tableau[3]:=4;

     afficher(v); // OK

     writeln(determinant(m):0:NCAV,chr(10)); // 236 : OK

     afficher(difference(m)); // [-5 -2 -5 -7 0 0 -4 -5 -2] : OK

     afficher(inverse(m)); // [3 34 -5 -21 -2 35 52 -40 -8]/236 : OK

     afficher(multiplier(m,v)); // [54 37 48] : OK

     afficher(lambda(m,v)); // [-0.2857 -0.1984 -0.63]

     readln;
END.
      1. hajerboug
        Est ce que je peux vous envoyer mon code source sous une forme confidentielle(par exemple votre mail, si cela ne vous dérange pas ), car j'ai pas envie qu'il soit copié si je le mets sur le forum en totalité. Car je n'arrive pas à me débarrasser des messages d'erreurs.
        Je m'excuse d'abuser de votre gentillesse.
        Merci
      2. KX Modérateur
        Par Message Privé comme tout à l'heure, personne n'y a accès à part moi...
        Mais utilises les balises de code (à côté de gras, italique et souligné)

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