Systèmes avec logarithme Résolu/Fermé

Question

Bonjour,
je n'arrive pas à résoudre les systèmes suivants : 

le premier étant :
     2lnx+lny=7
     3lnx-5lny=4

et le second :
     2lnx-4lny=3
     -lnx+2lny=1

Merci d'avance.

mamiemando · Answer

Il suffit de poser un changement de variable :
X = ln(x)
Y = ln(y)
Tu résouds ton système avec les variables X et Y :
2X + Y =7
3X + 5Y = 4

Y = 7 - 2X
3X + 5(7-2X) = 3X + 35 - 10X = 4

Y = 7 - 2X
-7X = -29 

Y = 7 - 2*29/7 = (49 - 58)/7 = -9/7
X = 29/7

Ensuite on utilise les deux équations de changement de variable. Comme ln est un bijection de R*+ dans R (et exp est sa fonction réciproque) et que 29/7 est dans R, on sait qu'il existe une unique valeur de x à valeur dans R*+. Même raisonnement pour y.
x = exp(29/7)
y = exp(-9/7)
Je te laisse faire l'autre exercice c'est le même principe.

Bonne chance

Utilisateur anonyme · Answer

Salut,
2lnx+lnx=2*lnx+lnx
Pour une valeur de 5=lnx:
2lnx+lnx=2*lnx+lnx=2*5+5=15

et ainsi de suite.
Je ne connait pas trés bien l'algorithme, mais en math, c'est ca.

fiddy · Answer

Salut
Comme mamienando te dit, tu as :

2X + Y =7
3X + 5Y = 4

Par combinaison linéaire, tu trouves : 

2X+Y=7
3X + 5Y - 5*(2X+Y) = 4 - 7*5

Ainsi : 

2X+Y=7
7X =31


Tu trouves donc X = 31/7 et Y= -13/7
D'où x = exp( 31/7) et y= exp(-13/7)

Je te laisse réfléchir pour le deuxième. Mais il est spécial, c'est un système non de Cramer. Donc, beh cas particulier ;)

mamiemando · Answer

Yep désolée pour l'erreur de calcul :p Je me suis plantée à la 4e étape :
3X + 5(7-2X) = 3X + 35 - 10X = 4
-7X = -31
X = 31/7
Y = (49-62)/7 = -13/7
Merci de ta vigilance fiddy ;-)

fiddy · Answer

Pas de quoi ;)

Systèmes avec logarithme

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