Problème de réception de mails liés à un formulaire

Bonjour à tous,

Je viens solliciter votre aide car je m'arrache les cheveux depuis hier sur un problème.
Je veux recevoir un mail reprenant les données renseignés par l'utilisateur dans un formulaire.
Tout cela fonctionne très bien lors de mes essais en local, tout est nickel !
Mais ça ne fonctionne plus lorsque je mets le site en ligne (mon frère m'a laissé une place sur son hébergeur DRI).
Pas de message d'erreur spécifique, le mail semble bien partir, mais je ne reçois rien dans ma boîte de destination.

Voici mes extraits de code :

HTML:
<form action="confirmformulaire.php" method="post">
<div>
<label for="name" class="intitule">Nom :</label>
<input type="text" id="name" required name="user_name" />
</div>
<div>
<label for="mail" class="intitule">e-mail :</label>
<input type="email" id="mail" required name="user_mail" />
</div>
<div>
<label for="phone" class="intitule">Téléphone : <a class="afacultatif"> (facultatif)</a></label>
<input type="tel" id="phone" name="user_phone" pattern="[0-9]{10}" maxlength="10" />
</div>

<div>
<label for="msg" class="intitule">Message :</label>
<textarea id="msg" required name="user_message"></textarea>
</div>

<div class="conteneurbutton2">
<button id="button2" type="submit" name="envoi">Envoyer le message</button>
</div>
</form>

PHP :
<?php
if (!empty($_POST)) {

$nom = $_POST['user_name'] ;
$mail = $_POST['user_mail'] ;
$phone = $_POST['user_phone'] ;
$message = $_POST['user_message'] ;

//ini_set("SMTP", "smtp.xxxx .fr"); (à utiliser uniquement pour les tests en local)

$mailheaders = "MIME-Version: 1.0\n";
$mailheaders .= "Content-type: text/html; charset=ISO-8859-1\n";
$mailheaders .= 'Reply-To: '.$mail."\n";
$mailheaders .= 'From: ' .$mail."\n";

$msg = '<h1>Message envoyé depuis la page Contact de mon site</h1>
<p><b>Nom : </b>' .$nom. '<br>
<b>Email : </b>' .$mail.'<br>
<b>Téléphone : </b>' .$phone.'<br>
<b>Message : </b>' .$message. '</p>';

$recipient = "monmail";
$subject = "Réponse au Formulaire";

mail($recipient, $subject, $msg, $mailheaders);
}
?>

Merci par avance de votre aide et bonne journée.