Transformer multiplication de négatifs en addition Fermé

Question

Bonjour, 

Je ne sais pas trop où poser cette question...

Quelqu'un saurait-il répondre à cela:

Transformer une multiplication de relatifs positifs en addition, facile:
3 x 4 => 3 + 3 + 3 + 3

mais comment transformer en addition (sans autre opérateur que le "+") une multiplication de relatifs négatifs?:
(-3) x (-4)...?

Les seules additions que je trouve impliquent des multiplications...:
(-3) x (-4) => (-3)x(-1) + (-3)x(-1) + (-3)x(-1) + (-3)x(-1)
ou
(-3) x (-4) =>(-1) x ((-3) + (-3) + (-3) + (-3))


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Utilisateur anonyme · Answer

- * - => + donc -4 * -3 = 4 * 3

KX · Answer

Bonjour,
 

 3 x 4 = 3 + 3 + 3 + 3 
 (-3) x (-4) = 3 x 4 = 3 + 3 + 3 + 3 
  3 x (-4) = - (3 x 4) = - (3 + 3 + 3 + 3)
 (-3) x 4 = - (3 x 4) = - (3 + 3 + 3 + 3)
Remarque : pour moi 3 x 4 ça fait plutôt 4 + 4 + 4 (différence entre multiplicateur et multiplicande).

benjea06 · Answer

Merci pour vos réponses.
J'ai posté ce sujet sur un autre forum et je me suis rendu compte que ma question était plus complète qu'énoncé en fait:

il s'agit d'expliquer de façon littéraire et simple la multiplication de négatifs, je m'explique...
Il est facile d'expliquer à un enfant, dans le cas de 3 x 3, ceci:
Tu as 3 euro, ces trois euro tu vas les avoir 3 fois : Tes 3 euro initiales + 3 euros et encore + 3 euros...

Comment l'expliquer avec de simples additions -3 x -3 ?
Là, on doit passer par la règle du - x - = + ou par une multiplication. 
Aucune explication aussi intuitive que celle de 3 x 3...

Ça commencerait par:
Tu as -3 euros dans ton compte etc ....
et après je ne vois pas.

En dehors de "Tu as -3 euros, tu rajoutes 4 fois 3 euros... ça te donnera 9 euro..." 
Mais pas très clair même si juste... ;)

Utilisateur anonyme · Answer

Bonjour,
le problème c'est la notion de négatif.

Dans le système scolaire français, un enfant découvre la multiplication en CE1 (7 ans), il apprend les nombres décimaux, et leurs multiplications en CM1/CM2 (9-10 ans, mes enfants sont en classes doubles on ne sait jamais trop quel programme ils suivent).
Mon ainé vient de rentré en 5ème (12 ans), et il n'a pas encore appris les nombres négatifs. Ce sera peut-être pour cette année.
Mais quand il en sera là, la multiplication ne sera qu'une formalité car elle est acquise et maîtrisée depuis longtemps. Et dans ce contexte, la décomposer en addition n'a pas de sens.

KX · Answer

Bonjour,

Une quantité négative ça n'existe pas, d'un point de vue matériel, si quelque chose existe c'est une valeur positive, sous réserve que le référentiel soit bien choisi.

Exemple : une température est toujours positive, c'est une mesure d’énergie et l’énergie n'est que positive, alors bien sûr, si on calcule en degrés (Celsius ou Fahrenheit) cela fausse un peu cette propriété, mais en Kelvin il n'y a aucune ambiguïté.

Bref, toute quantité est positive (ou nulle).
La notion de négatif vient d'une interprétation de notre environnement.
Une voiture qui recule, on pourrait penser qu'elle fait du -5km/h mais sa vitesse est toujours de +5km/h

Si tu donnes 3€ à une personne, cela fait moins pour toi, mais plus pour celui qui le reçoit.
Mais la quantité d'argent est toujours positive, c'est du débit ou du crédit, mais il n'y a jamais eu -3€.

Si j'enlèves quelque chose, c'est toujours pour l'ajouter ailleurs. Pour expliquer des nombres négatifs on pourrait faire du transvasement, avec des billes par exemple. Tu as 20 billes dans un bol, 0 billes dans l'autre.
Enlever 4 billes du premier bol, c'est les ajouter au deuxième bol. Donc enlever 3 fois 4 billes au premier bol revient à ajouter 3 fois 4 billes au second bol. Il n'y a pas de billes négatives.

[Dal] · Answer

Salut benjea06,

Disclaimer : Je ne suis pas matheux comme les illustres autres contributeurs à ce fil, alors n'hésitez pas à me dire que ce que je raconte ci-après ne tient pas debout :-).

Puisque tu recherches une formulation littéraire, la lecture de ce fil suggéré par Whismeril pour les tentatives de démonstrations mathématiques qu'il comporte, a porté mon attention (non pas sur les démonstrations faites) sur une contribution intéressante de "Nuage" que je propose d'adapter dans la perspective d'une explication "littéraire" en faisant un autre parallèle basé sur sa proposition.

https://www.maths-forum.com/cafe-mathematique/produit-nombres-negatifs-donne-nombre-positif-t37479.html#p224756

Nuage dit :

Salut,
l'absence de démonstration avait indigné le jeune Stendhal. En représentant le produit de 2 réels par un rectangle on peut, et c'est même assez naturel si on pense au déterminant de 2 vecteurs de R² on peut avoir une illustration de la chose.
Le signe de "l'aire" d'un rectangle est donné par le sens de parcourt autour du rectangle.
Plus pour le sens direct
Moins pour le sens rétrograde.
Il est facile de vérifier sur un dessin que -x- et +x+ donnent le même sens de parcourt.
Ce n'est en aucun cas une démonstration, mais c'est une idée sur ce qui ce passe.

A+

S'il faut expliquer (-3) x (-4) = 12 sous forme littéraire, il ne faut pas perdre de vue que le concept de signe négatif est une convention comme d'autres dans l'univers mathématique, et qu'il n'est pas absurde, dans le cadre d'une explication littéraire, de remplacer cette convention par une autre du domaine littéraire, sous réserve qu'elle constitue un parallèle pertinent.

Si on assimile le résultat de l'opération à une distance parcourue dans un sens ou dans le sens opposé, la présence d'un signe négatif peut être comprise comme déterminant, avant tout déplacement, une inversion du sens de la marche. Une fois résolue la question de savoir dans quel sens on se déplace, on explique la multiplication au moyen de sommes successives, sans s'occuper du signe.

Donc :

- si la présence d'un signe moins signifie que j'inverse une fois le sens de la marche (je passe la marche arrière), ma progression sera négative : je vais reculer.

- si la présence de deux signes moins signifie j'inverse deux fois le sens de la marche (je passe la marche arrière, puis je repasse la marche avant), la progression sera positive : je vais avancer.

- les signes ayant déjà été exploités, il me reste à déterminer ensuite de combien j'avance ou je recule, ce qui peut être fait  par additions successives.

Quand à la présence d'un signe plus, la convention est qu'elle n'altère pas le sens de la marche tel que déterminé par ailleurs sachant que, par défaut, nous passons la marche avant (affectée, donc, par les éventuelles inversion(s) dues à la présence de signe(s) négatif(s)).


Dal

benjea06 · Answer

Ravi de voir que mes interrogations valent celles de Stendhal même s'il n'était qu'enfant à ce moment... :)
Merci pour toutes ces explications et ces liens.
Voilà de quoi potasser.

En guise de récompense, je vous offre cette petite réplique de Woody Allen à un journaliste qui lui demandait s'il était capable d'une pensée positive.
Il a répondu:
"Une pensée positive non... Est-ce que 2 pensées négatives vous iraient...?"
:)

Transformer multiplication de négatifs en addition

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