Appelmail ne reçoit plus les mails envoyés sur mon adresse gmail

Je ne reçois plus mes mails sur ma boîte mail Apple depuis le 28/07/2015.
Mon adresse est gmail et la connexion Google IMAP ne se fait plus...!!
Presque chaque fois que j'utilise Google, Google m'envoie un message comme quoi il a "bloqué" 10x, 20x, ma connexion etc..., ne sachant pas si c'est bien moi...!
Je n'y comprends strictement RIEN !!!!
J'ai 2 ordinateurs et 1 iphone avec lesquels je travaille : ce n'est quand même pas difficile de les repérer, les identifier, les noter, et ne plus nous "emmerder" avec un nombre de mails infini pour lesquels on ne peut rien faire, et qui parasite les boîtes mails....! Et j'ai 1 windows 8 sur chaque ordinateur : cela fait un MAXIMUM DE 5 SOURCES À GERER POUR MOI......: ce n'est quand même pas au dessus de leurs possibilités, je crois...!!!
J'ai déjà été dans gmail pour ré-initialiser mes mots de passe, idem dans Apple mail : je ne sais que faire de plus, et j'ai ABSOLUMENT BESOIN DE MES MAILS , et de CONNEXIONS QUI MARCHENT ENTRE ELLES !
J'ai déjà passé 2 journées entières à essayer de résoudre le problème, et je refuse de payer un informaticien pour un PROBLEME GENERE PAR GOOGLE LUI-MEME très vraisemblablement !
Je refuse aussi de changer mes mots de passe qui sont personnalisés et que je peux gérer .
Quelqu'un de Google peut-il m'aider et résoudre ce blocage rapidement ?
D'avance, merci.
Et merci aussi de ne pas interférer dans mes ordinateurs sans MA PERMISSSION,
ou à MA DEMANDE......!!!
C.S.