Pb exposant réel d'une matrice
KIZ817
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Char Snipeur Messages postés 10112 Statut Contributeur -
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Bonjour,
J'ai une matrice à deux dimensions sur laquelle je veux appliquer un exposant qui n'est pas entier. càd A^x (x=0.25 par exemple). le pb est que Matlab considère ce syntaxe faux
car x n'est pas entier (puisqu'il suppose que tout exposant est entier)
Aidez-moi SVP!
J'ai une matrice à deux dimensions sur laquelle je veux appliquer un exposant qui n'est pas entier. càd A^x (x=0.25 par exemple). le pb est que Matlab considère ce syntaxe faux
car x n'est pas entier (puisqu'il suppose que tout exposant est entier)
Aidez-moi SVP!
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5 réponses
Et comment tu définirais l'opération puissance avec des nombres non entiers ?
Pour moi A^0 = I (la matrice identité) et A^(n+1) = A*A^n = A^n*A
Exemple : A=[[1,2];[3,4]], A²=[[7,10];[15,22]], A³=[[37,54];[81,118]]
Pour toi que vaudrait A^0.5 ? ou A^0.25 vu que c'est ton exemple ?
Peut-être qu'il faudrait regarder du côté de l'exponentielle d'une matrice pour calculer A^x=exp(x*ln A), mais il faudrait définir ce qu'est le logarithme d'une matrice...La confiance n'exclut pas le contrôle
Pour moi A^0 = I (la matrice identité) et A^(n+1) = A*A^n = A^n*A
Exemple : A=[[1,2];[3,4]], A²=[[7,10];[15,22]], A³=[[37,54];[81,118]]
Pour toi que vaudrait A^0.5 ? ou A^0.25 vu que c'est ton exemple ?
Peut-être qu'il faudrait regarder du côté de l'exponentielle d'une matrice pour calculer A^x=exp(x*ln A), mais il faudrait définir ce qu'est le logarithme d'une matrice...La confiance n'exclut pas le contrôle
Salut KX,
Je pense que le plus simple est de faire appel à l'algèbre linéaire en utilisant la diagonalisation (si la matrice est diagonalisable) ou alors la réduction de Jordan.
Il suffira de calculer la n-dérivation de la fonction puissance avec n l'ordre de la matrice une fois qu'on a trouvé la matrice de passage.
Cordialement,
Je pense que le plus simple est de faire appel à l'algèbre linéaire en utilisant la diagonalisation (si la matrice est diagonalisable) ou alors la réduction de Jordan.
Il suffira de calculer la n-dérivation de la fonction puissance avec n l'ordre de la matrice une fois qu'on a trouvé la matrice de passage.
Cordialement,
Bon pour la théorie, jusqu'à la réduction de Jordan je vois d'où ça sort, par contre la "n-dérivation" je ne vois pas ce que c'est, un développement limité à l'ordre n peut-être ? Parce que c'est à ça que je pensais pour "définir le logarithme d'une matrice" mais si je me souviens bien la série ne peut être utilisée qu'au voisinage de 1+x, est-ce que la matrice de passage permet de garantir ce voisinage ?
Côté pratique, je ne connais pas du tout Matlab, alors je ne sais pas ce qu'il est possible de faire, ni avec quel degré de précision (calcul symbolique, ou numérique), d'autant qu'on devrait rapidement se retrouver dans C au lieu de R au départ...
Bref, dans tous les cas, il paraît assez normal que la puissance de matrice ne soit pas directement implémentée vu les difficultés sous-jacente dont n'avait visiblement pas conscience KIZ817.
Côté pratique, je ne connais pas du tout Matlab, alors je ne sais pas ce qu'il est possible de faire, ni avec quel degré de précision (calcul symbolique, ou numérique), d'autant qu'on devrait rapidement se retrouver dans C au lieu de R au départ...
Bref, dans tous les cas, il paraît assez normal que la puissance de matrice ne soit pas directement implémentée vu les difficultés sous-jacente dont n'avait visiblement pas conscience KIZ817.
par contre la "n-dérivation" je ne vois pas ce que c'est, un développement limité à l'ordre n peut-être ?
Non je ne parlais pas du tout du développement limité. L'avantage de la jordanisation est le calcul des puissances, mais qui nécessite le calcul de dérivées dans le triangle supérieur de la matrice.
Pour le reste, je suis d'accord avec ton analyse ;-)))
Non je ne parlais pas du tout du développement limité. L'avantage de la jordanisation est le calcul des puissances, mais qui nécessite le calcul de dérivées dans le triangle supérieur de la matrice.
Pour le reste, je suis d'accord avec ton analyse ;-)))
Reprends par exemple ma matrice A=[[1,2];[3,4]] de tout à l'heure, et demande à Matlab de trouver la solution pour voir s'il y arrive malgré tout...
Je n'ai pas trouvé de matrice (réelle) dont le carré soit A.
Par contre, si on part de son carré [[7,10];[15,22]], on trouve une autre matrice qui élevée au carré donne A² : [[1.566699,1.740777];[2.611165,4.177864]]
et il y a deux matrices dont l'élévation au carré donne cette dernière :
[[1.018083,0.594534];[0.891801,1.909884]]
et [[0.089295,1.019387];[1.529081,1.618375]]
(on peut aussi changer tous les signes).
Ca ne sert à rien, ce n'est qu'un exercice de calcul.
Je n'ai pas trouvé de matrice (réelle) dont le carré soit A.
Par contre, si on part de son carré [[7,10];[15,22]], on trouve une autre matrice qui élevée au carré donne A² : [[1.566699,1.740777];[2.611165,4.177864]]
et il y a deux matrices dont l'élévation au carré donne cette dernière :
[[1.018083,0.594534];[0.891801,1.909884]]
et [[0.089295,1.019387];[1.529081,1.618375]]
(on peut aussi changer tous les signes).
Ca ne sert à rien, ce n'est qu'un exercice de calcul.
Oui c'est ce que je disais "ce n'est pas sûr que la solution existe ni qu'elle soit unique"
D'ailleurs je n'avais trouvé aucune solution pour la matrice A (j'avait fait le calcul symbolique via Maxima), ni réelle, ni complexe d'ailleurs. Ça doit pouvoir s'expliquer facilement avec les valeurs propres.
D'ailleurs je n'avais trouvé aucune solution pour la matrice A (j'avait fait le calcul symbolique via Maxima), ni réelle, ni complexe d'ailleurs. Ça doit pouvoir s'expliquer facilement avec les valeurs propres.
Que cherches tu à faire avec ta puissance ?
ça ne serait pas plutôt A.^0.5 que tu chercherais à faire (mettre chaque valeur de A à la puissance 0.5) ?
Sinon, intéressant la question des puissances non entières d'une matrice. Fondamentalement, je ne vois pas pourquoi se serait impossible (après tout, pour un réel ce n'est déjà pas évident la première fois qu'on le voit).
Il est loqigue d'avoir plusieurs solutions à l'équation B^2=A, déjà, il y a une matrice et son opposé. Il serait intéressant de montrer que si le nombre de solution est infini ou non.
ça ne serait pas plutôt A.^0.5 que tu chercherais à faire (mettre chaque valeur de A à la puissance 0.5) ?
Sinon, intéressant la question des puissances non entières d'une matrice. Fondamentalement, je ne vois pas pourquoi se serait impossible (après tout, pour un réel ce n'est déjà pas évident la première fois qu'on le voit).
Il est loqigue d'avoir plusieurs solutions à l'équation B^2=A, déjà, il y a une matrice et son opposé. Il serait intéressant de montrer que si le nombre de solution est infini ou non.
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nous avons oublier l'axiome de base : commencer par demander à Wikipedia :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_carr%C3%A9e_d%27une_matrice
Marrant.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_carr%C3%A9e_d%27une_matrice
Marrant.
Soit A=[[a,b];[c,d]] et B=[[w,x];[y,z]] tels que B*B=A, c'est à dire que B=sqrt(A)=A^0.5
Trouver B connaissant A revient à résoudre le système d'équations non-linéaires suivant :
a=w²+xy, b=x(w+z), c=y(w+z), d=z²+xy (d'inconnus w,x,y,z, connaissant a,b,c,d)
Or ce n'est pas sûr que la solution existe ni qu'elle soit unique !
Reprends par exemple ma matrice A=[[1,2];[3,4]] de tout à l'heure, et demande à Matlab de trouver la solution pour voir s'il y arrive malgré tout...
Bien évidemment je me suis limité ici à un calcul de puissance 0,5 sur une matrice 2x2, et trouver un cadre général pour la puissance (non-entière) d'une matrice me paraît très compliqué !