Pb exposant réel d'une matrice

J'essaye de définir ce que devrait être la racine carré d'une matrice 2x2 à coefficients dans IR
Soit A=[[a,b];[c,d]] et B=[[w,x];[y,z]] tels que B*B=A, c'est à dire que B=sqrt(A)=A^0.5

Trouver B connaissant A revient à résoudre le système d'équations non-linéaires suivant :
a=w²+xy, b=x(w+z), c=y(w+z), d=z²+xy (d'inconnus w,x,y,z, connaissant a,b,c,d)

Or ce n'est pas sûr que la solution existe ni qu'elle soit unique !

Reprends par exemple ma matrice A=[[1,2];[3,4]] de tout à l'heure, et demande à Matlab de trouver la solution pour voir s'il y arrive malgré tout...

Bien évidemment je me suis limité ici à un calcul de puissance 0,5 sur une matrice 2x2, et trouver un cadre général pour la puissance (non-entière) d'une matrice me paraît très compliqué !

Bon pour la théorie, jusqu'à la réduction de Jordan je vois d'où ça sort, par contre la "n-dérivation" je ne vois pas ce que c'est, un développement limité à l'ordre n peut-être ? Parce que c'est à ça que je pensais pour "définir le logarithme d'une matrice" mais si je me souviens bien la série ne peut être utilisée qu'au voisinage de 1+x, est-ce que la matrice de passage permet de garantir ce voisinage ?

Côté pratique, je ne connais pas du tout Matlab, alors je ne sais pas ce qu'il est possible de faire, ni avec quel degré de précision (calcul symbolique, ou numérique), d'autant qu'on devrait rapidement se retrouver dans C au lieu de R au départ...

Bref, dans tous les cas, il paraît assez normal que la puissance de matrice ne soit pas directement implémentée vu les difficultés sous-jacente dont n'avait visiblement pas conscience KIZ817.

par contre la "n-dérivation" je ne vois pas ce que c'est, un développement limité à l'ordre n peut-être ?
Non je ne parlais pas du tout du développement limité. L'avantage de la jordanisation est le calcul des puissances, mais qui nécessite le calcul de dérivées dans le triangle supérieur de la matrice.
Pour le reste, je suis d'accord avec ton analyse ;-)))

Oui c'est ce que je disais "ce n'est pas sûr que la solution existe ni qu'elle soit unique"
D'ailleurs je n'avais trouvé aucune solution pour la matrice A (j'avait fait le calcul symbolique via Maxima), ni réelle, ni complexe d'ailleurs. Ça doit pouvoir s'expliquer facilement avec les valeurs propres.