Java et Induction mathématique
Kiwi
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Kiwi -
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Débutant en Java et très mauvais en maths, on vient de me
poser une question concernant l'induction mathématique. Je n'ai pas la moindre idée de comment résoudre le problème suivant :
prouver que pour tous les n > ou = 3
n! > 2 puissance n-1
Quelqu'un peut-il m'aider ?
Merci d'avance
poser une question concernant l'induction mathématique. Je n'ai pas la moindre idée de comment résoudre le problème suivant :
prouver que pour tous les n > ou = 3
n! > 2 puissance n-1
Quelqu'un peut-il m'aider ?
Merci d'avance
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2 réponses
:o)))
Ca ressemble à un devoir masqué :)
Mais bon... C'est tellement bien fait que...
Sinon, pour quelle occasion as tu besoin d'un tel algo.
NB: j'ai pas la solution.
-= Bobinours =-
Ca ressemble à un devoir masqué :)
Mais bon... C'est tellement bien fait que...
Sinon, pour quelle occasion as tu besoin d'un tel algo.
NB: j'ai pas la solution.
-= Bobinours =-
kiwi
Le devoir s'avère être une question posée lors d'un cours Java concernant les data structures et la récursion. Comme je soupconne le prof de vouloir inclure ce genre de question lors d'un prochain test je préfère étudier la question avant. Merci pour l'intérêt.
Proposition de démo
Rappel il s'agit d'entiers ; 2^n se lit 2 puissance n
Vérifions que c'est vrai pour un nombre supérieur à 2 (donc sup ou egal à 3)
Pour n=3, ns avons n!=3x2=6 et 2^(n-1)=2^(3-1)=2^2=4
Donc c'est vrai pour n=3
Supposons que ce soit vrai pour n. Alors n!>2^(n-1)
pour (n+1) nous aurons
(n+1)!=(n+1)xnx(n-1)x(n-2)x...x3x2x1=(n+1)xn! (soit (n+1) fois factorielle n)
2^(n+1-1)=2^n=2x2^(n-1)
donc (n+1)!=(n+1)x n!
et 2^n =2 x 2^(n-1)
mais n>2 donc n+1 > 2
par ailleurs nous avons supposé que n! > 2^(n-1)
---------------------
tous ces nb étant positifs (n+1) x n> 2 x 2^(n-1)
soit (n+1) ! > 2^[(n+1)-1]
En conclusion si c'est vrai pour n c'est vrai pour n+1
or c'est vrai pour 3 donc c'est vrai pour 4
etc...
Rappel il s'agit d'entiers ; 2^n se lit 2 puissance n
Vérifions que c'est vrai pour un nombre supérieur à 2 (donc sup ou egal à 3)
Pour n=3, ns avons n!=3x2=6 et 2^(n-1)=2^(3-1)=2^2=4
Donc c'est vrai pour n=3
Supposons que ce soit vrai pour n. Alors n!>2^(n-1)
pour (n+1) nous aurons
(n+1)!=(n+1)xnx(n-1)x(n-2)x...x3x2x1=(n+1)xn! (soit (n+1) fois factorielle n)
2^(n+1-1)=2^n=2x2^(n-1)
donc (n+1)!=(n+1)x n!
et 2^n =2 x 2^(n-1)
mais n>2 donc n+1 > 2
par ailleurs nous avons supposé que n! > 2^(n-1)
---------------------
tous ces nb étant positifs (n+1) x n> 2 x 2^(n-1)
soit (n+1) ! > 2^[(n+1)-1]
En conclusion si c'est vrai pour n c'est vrai pour n+1
or c'est vrai pour 3 donc c'est vrai pour 4
etc...