Problème batterie

Bonjour,
Je viens d'avoir un problème avec mon ordi portable (Hp Pavillon dv5) :
En plein travail, le Pc s'est mis en arrêt automatique. Je me rend compte un peu tard que la machine est brûlante et que la Batterie était quasi vide (< 5%). Suite à cela, s'en est suivi une forte odeur de chaleur(voir même de brûlé) le Pc ne veux plus redémarrer.
je le laisse refroidir, débranche l'alim, et même la batterie.

Lorsqu'il est bien froid je remet la batterie sans l'alim et sans allumer l'ordi. Et à ma grande stupeur, l'ordi monte tout seul en température ( je re-précise bien que l'ordi est éteint et non branché !!).
je pense que la batterie est morte car le Pc à réussit a redémarrer après une dizaine d'essais branché sur secteur uniquement sans batterie.

Mes questions sont les suivantes : la batterie est elle bien morte ? Pourquoi le Pc chauffe tout seul avec cette batterie connectée ..? Mis à part les coupures de courant y a t il un danger d'utiliser l'ordi sur secteur sans batterie ? Y a t il un risque que le pc ait subit des dommages(Court-circuit ou autres..), dois-je racheter une nouvelle batterie ?

Merci d'avance