Módulo 97

El módulo de cualquier número redondeado a una potencia de 10 (ya sea 1000, 100000 o, como aquí, 10.000.000) es relativamente fácil de calcular. Por lo tanto, cualquier número sumado a este redondeo deberá integrar este módulo, y todo múltiplo de ese número tendrá un módulo multiplicado de la misma manera.

Por ejemplo:
1000 % 97 = 30
(1000 / 97 = 10,309278 luego 0,309278 * 97 = 30)
Por lo tanto, 10.000 % 97 deberá ser 10x 30 (que aún debemos hacer % 97, etc.).
Y así, 10.001 % 97 debe ser (10x 30 + 1) % 97.
Por lo tanto, limitando la entrada a 4 o 5 cifras, cualquier número "aaa.bbb" módulo 97 es igual a (aaa x 30 + bbb) módulo 97

Dado que una calculadora estándar solo tiene 8 cifras, primero hacemos 10.000.000 / 97 = 103092,78 luego 0,78 x 97 = 76.
Por lo tanto, cualquier número "a.aaa.aab.bbb.bbb" módulo 97 dará el mismo resultado que ("aaaaaaa" x 76 + "bbbbbbb") módulo 97.

Y para más de 13 cifras, podemos continuar:
a.aaa.aab.bbb.bbc.ccc.ccc % 97 => ???
Primero 10.000.000.000.000 % 97 = (1.000.000 x 76 + 0) % 97 = 15
Por lo tanto, esto da (aaaaaa x 15 + bbbbbbccccccc) % 97.
El cálculo aaaaaa x 15 + bbbbbbccccccc dará necesariamente un resultado de 13 cifras (o 14 si bbbbbb = 999999, pero el resto sigue siendo manejable para una calculadora de 8 cifras), y luego se repite con 76 como se mencionó anteriormente.
Así que sí, sería necesario descomponer el cálculo en dos para hacer aaaaaa x 15 + bbbbbbccccccc (o realizar la suma en papel...) pero sigue siendo relativamente sencillo de llevar a cabo. Y podemos continuar así indefinidamente - siempre que tengamos tiempo para hacerlo - añadiendo los mismos pasos uno tras otro.

O, otra forma de ver la misma cuestión:

100 % 97 = 3
por lo que 1.000 % 97 = (3 * 10) % 97 = 30
por lo tanto 10.000 % 97 = (3 * 10^2) % 97 = 9
por lo tanto 100.000 % 97 = (3 * 10^3) % 97 = 90
por lo tanto 1.000.000 % 97 = (3 * 10^4) % 97 = 27
por lo tanto 10.000.000 % 97 = (3 * 10^5) % 97 = 76

de donde queda claro que:
si (x % y) = z
entonces (10x % y) = (10z % y)
o más generalmente: (nx % y) = (n(x % y) % y) = (nz % y)

Dado que ((x+p) % y) = (((x % y) + p) % y) (para el módulo "y" de dos cifras sumadas, podemos reemplazar una o ambas por su módulo "y" sin cambiar el resultado)
por lo tanto ((nx + p) % y) = ((n(x % y) + p) % y)
y aún, si (x % y) = z,
((nx+p) % y) = (nz + p) % y

Por lo tanto, para cualquier múltiplo muy grande n de x (en este caso, los 6 dígitos más grandes de un número de 13 dígitos, que son por lo tanto un múltiplo "n" de "x" donde x = 10.000.000), si conocemos el resultado "z" de x % y (en este caso, 76 si y = 97), la ecuación para un número "a.aaa.aab.bbb.bbb" % 97 se convierte simplemente en (n * 76 + p) % 97
= ("aaaaaa" * 76 + bbbbbbb) % 97


Y finalmente, para un número de 31 dígitos "a.aaa.aab.bbb.bbc.ccc.ccd.ddd.dde.eee.eee" % y ...
= ("aaaaaa" * (10^25 % y) + bbbbbbccccccddddddeeeeeee) % y
= ("aaaaaa" * (10^25 % y) + ("bbbbbb" * (10^19 % y) + ccccccddddddeeeeeee) % y) % y
y así sucesivamente, que termina en:
= ("aaaaaa" * (10^25 % y) + ("bbbbbb" * (10^19 % y) + ("cccccc" * (10^13 % y) + ("dddddd" * (10^7 % y) + "eeeeeee" )))) % y

Para el módulo 97, sabemos que 10^7 % 97 = 76, por lo que "a.aaa.aab.bbb.bbc.ccc.ccd.ddd.dde.eee.eee" % 97
= ("aaaaaa" * (10^18 * 76 % 97) + ("bbbbbb" * (10^12 * 76 % 97) + ("cccccc" * (10^6 * 76 % 97) + ("dddddd" * 76 + "eeeeeee"))) % 97
Es fácil calcular 10^6 * 76 % 97 = 15
= ("aaaaaa" * (10^12 * 15 % 97) + "bbbbbb" * (10^6 * 15 % 97) + "cccccc" * 15 + "dddddd" * 76 + "eeeeeee") % 97
Una vez más, 10^6 * 15 % 97 = 17
= ("aaaaaa" * (10^6 * 17 % 97) + "bbbbbb" * 17 + "cccccc" * 15 + "dddddd" * 76 + "eeeeeee") % 97
Y finalmente, 10^6 * 17 % 97 = 71
= ("aaaaaa" * 71 + "bbbbbb" * 17 + "cccccc" * 15 + "dddddd" * 76 + "eeeeeee") % 97
Y dado que el resultado ("ffgggggg") % 97 puede superar las limitaciones de una calculadora básica, repetimos (ff * 76 + ggggggg) % 97 para mantener todo dentro de 8 dígitos.