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1 réponse
Déjà pour que ça ait un sens il faut que x-4>0 et x+2>0 (le domaine de définition de ln est R*+), ie que x>4 et x>-2, soit : x>4.
D'après les propriétés du logarithme, ln(x-4)+ln(x+2)=ln((x-4)*(x+2)), donc ton équation devient ln((x-4)*(x+2))=ln(5), et comme ln est bijective de R*+ dans R, tu dois avoir (x-4)*(x+2)=5.
C'est donc une équation du deuxième degré. Tu développes en x^2-2x-8=5, soit x^2-2x-13=0, et tu calcules le discriminant : Delta=4+4*13=56=4*14.
D'où les racines de l'équation : (2+2*racine(14))/2=1+racine(14) et (2-2*racine(14))/2<0.
Or on a vu que la solution devait être strictement plus grande que 4, donc la deuxième racine ne peut convenir. Il reste à vérifier si 1+racine(14)>4, ie si racine(14)>3, ie si 14>9 : c'est bon !
La solution de ton équation est donc x=1+racine(14).
D'après les propriétés du logarithme, ln(x-4)+ln(x+2)=ln((x-4)*(x+2)), donc ton équation devient ln((x-4)*(x+2))=ln(5), et comme ln est bijective de R*+ dans R, tu dois avoir (x-4)*(x+2)=5.
C'est donc une équation du deuxième degré. Tu développes en x^2-2x-8=5, soit x^2-2x-13=0, et tu calcules le discriminant : Delta=4+4*13=56=4*14.
D'où les racines de l'équation : (2+2*racine(14))/2=1+racine(14) et (2-2*racine(14))/2<0.
Or on a vu que la solution devait être strictement plus grande que 4, donc la deuxième racine ne peut convenir. Il reste à vérifier si 1+racine(14)>4, ie si racine(14)>3, ie si 14>9 : c'est bon !
La solution de ton équation est donc x=1+racine(14).
