Petit souci de formule Résolu/Fermé

Question

Bonjour a tous,

Voila c'est mon premier message sur se site que je trouve genial merci a tout ceux qui y participe
Bon bref je vous ecrit car j'ai un petit souci je doit ecrire un programme qui calcul log10(x) et log2(x) jusque la rien de terrible

Seulement c'est un projet de maths et donc bien entendu pas question d'utiliser les methodes standard présente dans tout les languages


voici une copie du sujet :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
x désigne un reel strictement positif
1) Montrer que x = M.10^y avec M € [1; 10 [ et y € Z

puis que M^10 = M1.10^y1 avec M1 € [1;10[ et y1 € {0,1,2, ..., 9}

Déduire des résultats precedents un algorithme de calcul de log10(x)

Ecrire un programme qui calcule log10(x) lorsqu'on lui donne x
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

J'ai vraiment besoin d'aide au moins pour montrer la premiere equation apres je pense que je saurais adapter

Merci davance

Sacabouffe · Answer

Salut Lefleau

Si c'est juste une indication que tu veux:
Utilise le fait que ln(x) est congru à un unique réel m modulo ln(10) avec 0=< m < ln(10).

Si l'indication de suffit pas, dis moi...

lefleau02 · Answer

d'accord donc deja merci pour ta réponse et si j'ai bien compris
j'utilise ln(x)=m(ln(10)) mais ensuite est ce que je peux utilisé l'inverse de ln(x) et aussi est ce que c'est la meme que log(10) soit 10^x ?


et oui je suis un noob en math mais bon je me rattrape en programmation

Sacabouffe · Answer

Non, non... c'est pas ça.

ln(x) est congru à un unique réel m modulo ln(10) avec 0=< m < ln(10) ça veut dire:
il existe un unique m € R et un unique n € Z tels que:
(1)0=< m < ln(10)
et
(2)ln(x) = m + n.ln(10)

En fait si tu connais pas ce tout petit résultat, ça prend pas 3 pages pour le démonter, il faut juste utiliser la partie entière:
Soit n la partie entière de ln(x)/ln(10).
Alors par définition de la partie entière on a:
n=< ln(x)/ln(10) < n+1
Notant m=ln(x) - n.ln(10) on vérifie facilement que m et n vérifient (1) et (2).

Pour la suite de ton problème tu passes à l'exponentielle.

Ensuite pour le truc avec M1 c'est la même chose, utilise la congruence de 10.ln(M) modulo ln(10).
Le fait que l'entier y1 est compris entre 0 et 9 découlera des inégalités que tu as sur M et M1.

lefleau02 · Answer

et bien la c'est parfait je te remercie beaucoup tu m'as bien débloqué encore une fois merci
je ne termine pas encore se sujet pour au cas ou j'aurais encore quelque questions mais sa devrait aller

Sacabouffe · Answer

OK, pas de problème...

Sacabouffe · Answer

Ah... autre chose...
J'ai pas montré l'unicité de m et n dans mon message (t'en parlais pas dans l'énoncé).
Si t'en as besoin tu le feras :-) ça prend 2 lignes...

lefleau02 · Answer

oui je te remercie je pense que sa je pourrai au moins le faire lol tu va pas faire tout mon devoir ^^

lefleau02 · Answer

Malheureusement je n'ai pas réussi a résoudre mon problème 
Alors pour info 
Les congruences on était abordé mais pas détaillé
alors comme je tourne en rond pour résoudre le problème pourrais tu me détailler le calcul pour la première question du sujet s'il te plait ?

Sacabouffe · Answer

Rebonjour

Bon ben c'est pas trop évident de taper des trucs dans un post sans éditeur de texte. Le mieux c'est que tu récupères ce fichier.

S'il y a ds trucs que tu comprends pas dis-moi.
Bonne fin de journée.
PS : j'ai pas relu, il y a peut-être des erreurs...

lefleau02 · Answer

ok je comprend mieux maintenant la partie exponentiel je n'y arrivé pas du coup je bloqué bettement 
je te remercie beaucoup j'ai plus qu'a bien le comprendre le complete et a l'ajouté a l'interface que je viens de finir

lefleau02 · Answer

Décidément j'ai encore une petite question 
le but initial de cette démonstration était de dégager un algorithme pour la calcul de log10(x)
Donc la démonstration je l'ai comprise sa il n'y a pas de souci seulement je me retrouve bloqué par les deux inconnu M et y
si je fait apparaitre log10(x) sa donne sa

log10(x) = (ln M + ln 10^y) / ln 10

alors est ce que je part pas du tout de la bonne formule ? est ce que j'ai fait une erreur ?

Sacabouffe · Answer

Salut Lefleau02

Là tout à coup je me rend compte que j'ai été un peu stupide de travailler avec le logarithme népérien pour ton problème. C'était carrément plus naturel avec le logarithme en base 10, plus simple et en plus t'aurais surement mieux vu d'où allait bien pouvoir venir ton algorithme.
Du coup prends plutôt ce fichier.

Pour ton algorithme, l'égalité que tu as écrite est juste (au passage oublie pas que log10 = ln/ln(10)) et je pense que c'est bien comme ça qu'il faut partir.
Tu as log10(x) = y + log10(M) avec 0 =< log10(M) < 1
Ensuite 10 log10(M) = y1 + log10(M1) avec 0 =< log10(M1) < 1
C'est-à-dire  log10(M) = y1/10 + log10(M1)/10 avec 0 =< log10(M1)/10 < 1/10
Et donc log10(x) = y + y1/10 + log10(M1)/10 avec 0 =< log10(M1)/10 < 1/10

Et tu itères le procédé M1^10=M2.10^y2 avec 1 =< M2 < 10 et y2 € {0,1,2, ..., 9} .
Dans ce cas tu as log10(x) = y + y1/10 + y2/100 + log10(M2)/100 avec 0 =< log10(M2)/100 < 1/100.
Bis repetita...
Du coup tu vois que pour tout n, yn est la nième décimale de log10(x) car
log10(x) = y + y1/10 + ......... + yn/10^n + log10(Mn)/10^n avec 0 =< log10(Mn)/10^n < 1/10^n

Voilà...
Et tu arrêtes ton algorithme à la décimale que tu veux. C'est bon? Tu veux que je détailles un peu plus?

lefleau02 · Answer

je te remercie pour ta reponse je vais prendre le temps de bien regarder et de comprendre toutes tes explications et je te dirais si j'ai tout compris
en tout cas merci pour ta patience

Sacabouffe · Answer

De rien, ça me dérange pas...

lefleau02 · Answer

Pour le fichier je viens de le parcourir et je pense avoir compris par contre je ne comprend pas comment tu passe de cette ligne
C'est-à-dire log10(M) = y1/10 + log10(M1)/10 avec 0 =< log10(M1)/10 < 1/10
a celle ci
Et donc log10(x) = y + y1/10 + log10(M1)/10 avec 0 =< log10(M1)/10 < 1/10

Sacabouffe · Answer

En remplaçant log10(M) = y1/10 + log10(M1)/10 dans la ligne log10(x) = y + log10(M).

lefleau02 · Answer

donc au niveau programmation soit je fait une fonction recursive soit jutilise le logarithme népérien c'est sa ? j'ai bien compris ?
et une autre question comment déterminé M et y ? je teste toute les solution ?

Sacabouffe · Answer

Euh ben non, en si je t'ai dit de pas oublier que log10 = ln/ln(10) dans le mesage 12 c'était parce que ta formule log10(x) = (ln M + ln 10^y) / ln 10 de ton message 11 se simplifiait en log10(x) = y + log10(M). Pour ton algorithme je pense que tu dois te fixer un nombre de décimales au début (appelons le n) et tu fais une boucle jusqu'à ce que t'atteignes n en incrémentant à chaque boucle la valeur du log10 calculé: premier passage : log10 = y deuxième passage log10 = log10 + y1/10 troisième passage log10 = log10 +y2/100 etc... et au final log10 = y + y1/10 + ..... + yn/10^n Pour déterminer le M et le y il y a que la première fois que c'est un peu chiant. En fait c'est facile de vérifier que y= inf { p ; x/10^p < 10 } (d'ailleurs si tu veux faire comme ça pour les 2 premières questions ça reste possible et ça te permet de faire le lien avec ton algorithme). Pour le tout premier passage dans la boucle le mieux c'est de séparer le cas où x < 1 et le cas où x >= 1. Si x < 1, tu pars de y=-1 et tu diminues alors y jusqu'à ce que x/10^y >= 10 et le bon y c'est celui qui vaut celui que tu viens de tester +1. Si x >= 1, la première valeur de y (en partant de 0 et en augmentant) telle que x/10^y < 10 est la bonne. Pour les boucles suivantes pas besoin de faire de disjonction de cas puisque tu as tout le temps Mn^10 > = 1. Tu pars de 0 et tu augmentes. Voilà et je me permets d'apporter une toute petite modification à ce que j'ai dit au message 12: ""Du coup tu vois que pour tout n, yn est la nième décimale de log10(x)"" En fait c'est vrai si x >= 1, sinon c'est pas tout à fait ça...

lefleau02 · Answer

D'accord je comprend a peu pres pour determiner les variable
et pour ce qui est ce la programmation je devrai pouvoir faire un truc du genre

public static nDecimalCourante;


public static float log10X(int x, int nDecimalSouhaite)
{
             // definition des variable
            // Calcul du premier log
           // incrementation de nDecimal
          // test de nDecimalCourante Si nDecimalSouhaite!=nDecimalCourante on rappel log
}

Sacabouffe · Answer

C'est en C que tu le fais? J'ai un peu oublié ce langage depuis le temps... En Matlab ça donnerait un truc comme ça: function[res]=log10app(x,n) clear y; clear M; clear res; res=0; M=0; format long if (x<=0 || n<0) res='Erreur'; else for k=0:n y=0; if k==0 if x<1 while x/10^(y-1)<10 y=y-1; end else while x/10^y>=10 y=y+1; end end M=x/10^y; res=y; else while M^10/10^y>=10 y=y+1; end M=M^10/10^y; res=res+y/10^k; end end end Et pis après il y a la possibilité d'améliorer pour comparer le résultat avec la fonction log10 de Matlab, etc... Il se peut que l'appellation "nieme décimale" pour l'arrêt de la boucle soit pas apprécié vu que c'est pas vraiment la "nieme décimale" quand x<1. Tu peux éventuellement dire "approximation à 10^(-n) près", ce sera peut-être mieux...

lefleau02 · Answer

Non c'est plus en java que je dois rédiger cette fonction Par contre je ne connais pas du tout le language MathLab donc je vais te dire ce que je comprend au code et tu n'auras qu'a me dire si je fais une erreur // Declaration de la fonction qui prend en paramettre X (valeur) et N (nombre de decimal) function[res]=log10app(x,n) // Declaration des variables de la fonction clear y; clear M; clear res; // Initialisation de leur valeur res=0; M=0; // Connais pas du tout format long // Test verifiant la validité des donnees transmise if (x<=0 || n<0) res='Erreur'; else // Repete tant que K n'est pas égale a N for k=0:n y=0; if k==0 if x<1 // La je ne vois pas ou est initialisé Y mais je comprend l'algo while x/10^(y-1)<10 y=y-1; end else while x/10^y>=10 y=y+1; end end M=x/10^y; res=y; else while M^10/10^y>=10 y=y+1; end M=M^10/10^y; res=res+y/10^k; end end end Je supose qu'en MathLab la variable RES est retourné automatiquement a la fin de la methode

lefleau02 · Answer

Petit essai de traduction en java public static double log10X(int x, int n) throws Exception { int y; double M=0; double res=0; if (x<=0 || n<0) throw new Exception("Valeur fausse !"); else { for(int k=0; k=10) { y=y+1; } //fin while } //fin if M=x/10^y; res=y; else { while (M^10/10^y>=10) { y=y+1; }// Fin while M=M^10/10^y; res=res+y/10^k; }// Fin else }// Fin for } //fin else } //fin methode-- La franchise ne consiste pas à dire tout ce que l'on pense, mais à penser tout ce que l'on dit.

Sacabouffe · Answer

Il y a pas besoin de déclaration de type ou de dimension avec Matlab, c'est implicite.
En fait clear c'était pour tout effacer au cas où les variables auraient été utilisés avant.
C'est au moment où on met ces variables à 0 que Matlab leur donne un type.

format long c'était pour régler l'affichage des nombres avec plus de décimales que le mode par défaut (qui doit être de 4).

y est initialisé juste après l'entrée dans la boucle.

Et une question : tu as mis k<n dans ton code, est-ce normal? Je dirais plutôt k<=n.

Et sinon, ça marche?
Moi c'est nickel...
PS : si tu connais un moyen de compter les chiffres qui composent un nombre en java, ce serait plus simple pour calculer y
PPS : c'est pas un algorithme qui prend 3 jours de calcul mais peut-être qu'en exploitant le fait que log10(x) = - log10(1/x) ça permet de simplifier un peu le programme et de gagner quelques microsecondes en ne considérant que le cas x>=1 et en ajoutant un moins pour x<1

lefleau02 · Answer

Voila la methode en java qui marche super bien et en effet c'etait k<=net non k=10) { y=y+1; } //fin while } //fin if M=x/Math.pow(10.0, y); res=y; } else { while ((Math.pow(M, 10.0)/Math.pow(10.0, y))>=10) { y=y+1; }// Fin while M=Math.pow(M, 10.0)/Math.pow(10.0, y); res=res+y/Math.pow(10.0, k); }// Fin else }// Fin for } //fin else System.out.println(res+""); return res; } //fin methode

Sacabouffe · Answer

Je pense que le résultat que tu obtiens est plutôt 0.47700000...003 et vu où se trouve le 3 ça correspond vaisemblablement à l'erreur machine.

lefleau02 · Answer

oui dsl jai fait une erreur en tapant le nombre 
donc comme l'erreur est du a la machine donc aucun moyen de corriger cela a par tronquer le nombre au moment de l'affichage ?

Sacabouffe · Answer

Ben je vois que ça...

lefleau02 · Answer

Bon j'ai changé un petit détail dans le code au lieu de m'arreter a k<=n je m'arrete a k<=n+1 car si on veux un resultat sur N decimal il nous faut calculer n+1 decimal pour que la nieme soit correcte et au moment de l'affichage on n'affiche le resultat que sur n decimal


je metterrais au propre ma méthode et je la posterais
En tout cas merci beaucoup pour ton aide

Sacabouffe · Answer

De rien...

lefleau02 · Answer

Voici un resumer de la solution comme j'avais promis de le faire Voici d'abort les deux fichier de demonstration Demo par ln Demo par log Ensuite l'inplémentation en mathLab (merci sacabouffe) function[res]=log10app(x,n) clear y; clear M; clear res; res=0; M=0; format long if (x<=0 || n<0) res='Erreur'; else for k=0:n y=0; if k==0 if x<1 while x/10^(y-1)<10 y=y-1; end else while x/10^y>=10 y=y+1; end end M=x/10^y; res=y; else while M^10/10^y>=10 y=y+1; end M=M^10/10^y; res=res+y/10^k; end end end Et pour finir la traduction en Java import javax.swing.*; public class Log { public static double log10X(long x, int n) throws Exception { // Utilisation du type double pour garder un maximum de precision lors du calcul double y; double M=0; double res=0; if (x<=0 || n<0) { throw new Exception("La valeur de x est fausse !"; } else { for(int k=0; k<=n+1; k++) // Pour k decimal on calcul k+1 decimal pour plus de precision sur kieme decimal { y=0; if (k==0) { if (x<1) { while ((x/Math.pow(10.0, y-1))<10) // Math.pow calcul la puissance ici 10^y-1 { y=y-1; } //fin while } else { while ((x/Math.pow(10.0, y))>=10) { y=y+1; } //fin while } //fin if M=x/Math.pow(10.0, y); res=y; } else { while ((Math.pow(M, 10.0)/Math.pow(10.0, y))>=10) { y=y+1; }// Fin while M=Math.pow(M, 10.0)/Math.pow(10.0, y); res=(res+y/Math.pow(10.0, k)); }// Fin else }// Fin for } //fin else return res; } //fin methode //Petit bonus le calcul de log2X qui n'est autre qu'un reutilisation de log avec un changement de base public static double calculerLog2X(long x, int n) throws Exception { String resTemp=log10X(x, n+1); String resTemp1= log10X(2,n+1); double res= logX/log2; return res; } } Je tiens tout particulierement a remercier sacabouffe pour son aide et sa patience

Petit souci de formule

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