Exercice en algorithmique d'approximation

je cherche un algorithme qui permet de calculer le rayon d'un cecle inscrit dans une grande cercle et la différence entre l'aire de 2 cercles soit maximal

Voici l'implémentation des deux méthodes (en langage Pascal) :

const epsilon=1E-10;

function racine1(y:real):real; // méthode des développements usuels
var n:integer; x,somme,produit,factorielle,puissance,memoire:real;
begin
     x:=y-1;
     if abs(x)>=1 then begin
                       writeln('/!\ le calcul de racine(y) necessite y sur ]0;2[');
                       readln; halt;
                       end;
     n:=0;
     somme:=1;
     produit:=1;
     factorielle:=1;
     puissance:=1;

     repeat
           memoire:=somme;
           n:=n+1;
           produit:=produit*(0.5-n+1); // a=0.5
           factorielle:=factorielle*n;
           puissance:=puissance*x;
           somme:=somme+produit*puissance/factorielle;
     until abs(somme-memoire)<epsilon;

     result:=somme;
end;

function racine2(a:real):real; // algorithme de Babylone
var x,y:real;
begin
     if a<=0 then begin
                  writeln('/!\ le calcul de racine(a) necessite a>0');
                  readln; halt;
                  end;

     y:=a;
     repeat
           x:=y;         // x <=> x(n)
           y:=(x+a/x)/2; // y <=> x(n+1)
     until abs(x-y)<epsilon;

     result:=y;
end;

La deuxième est plus simple mais elle ne s'utilise qu'avec le calcul de la racine alors que la première peut facilement se modifier pour s'adapter à tous les développements usuels

Remarque : pour l'approximation de la racine carré on a l'algorithme de Babylone

Dans les exemples si tu prends la formule 9 tu as une formule pour calculer (1+x)^a pour x sur ]-1;1[

Avec a=1/2 on peut alors calculer racine(1+x) pour x sur ]-1;1[
Et en posant y=x+1 on obtient donc une formule de racine(y) pour y sur ]0;2[

La formule est un algorithme exprimé dans un langage formel (les mathématiques) il s'agit de faire une somme (infinie mais faut s'arrêter un peu avant) où dans chaque terme tu as un produit, une factorielle, et une puissance...

Je ne peux pas te proposer d'algorithme dans ton langage de programmation, parce que... tu n'as pas dit ce que c'était !

La plupart des approximations utilisées en algorithmique sont liées au concept mathématiques de série, et nottament de série entière.
Quelques exemples avec les développements usuels

On peut grâce à ce "petit" point de théorie faire un certain nombre d'approximation, à condition que tu saches faire des sommes, des calculs de puissances, et des factorielles (le tout combiné) dans le langage de programmation que tu utilises (ps. ce serait bien de préciser lequel c'est)